Question

利用二重积分,求平面z=4-x-y与x+y=1以及三个坐标面围成的立体的体积 急！！！

Answer 1

二重积分的几何意义，是一个曲顶柱体的体积，这个立体的曲顶就是z=4-x-y，底面区域就是由x轴y轴和x+y=1在xoy面围成的区域D。
V=∫∫ (4-x-y) dxdy 积分区域D：x=0，y=0，x+y=1所围三角形
=∫[0--->1] dx ∫[0--->1-x] (4-x-y) dy
=∫[0--->1] (4y-xy-(1/2)y²) |[0--->1-x]dx
=∫[0--->1] (4(1-x)-x(1-x)-(1/2)(1-x)²)dx
=∫[0--->1] (7/2-4x+(1/2)x²)dx
=(7/2)x-2x²+(1/6)x³ |[0--->1]
=(7/2)-2+(1/6)
=5/3

Answer 2

解：所求体积=∫<0,1>dx∫<1-x,4-x>(4-x-y)dy+∫<1,4>dx∫<0,4-x>(4-x-y)dy
=∫<0,1>{[(4-x)y-y²/2]│<1-x,4-x>}dx+∫<1,4>{[(4-x)y-y²/2]│<0,4-x>}dx
=∫<0,1>(9/2)dx+∫<1,4>(8-4x+x²/2)dx
=(9x/2)│<0,1>+(8x-2x²+x³/6)│<1,4>
=9/2+(32-32+32/3-8+2-1/6)
=5。