Question

已知a>0,b>0,c>0,abc=1,证明1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)>=3/2

用排序不等式

Answer 1

解：
原式左边=bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b)
不失一般性，另0<a≤b≤c,则根据排序原理需要构造顺序矩阵、乱序矩阵或反序矩阵，
∵abc=1,又根据假设，则：
顺序矩阵：bc ac ab
1 /a^2(b+c) 1/b^2(a+c) 1/c^2(a+b)
乱序矩阵：bc ac ab
1/c^2(a+b) 1 /a^2(b+c) 1/b^2(a+c)
乱序矩阵：bc ac ab
1/b^2(a+c) 1/c^2(a+b) 1 /a^2(b+c)
∴根据排序原理有：
bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b) ≥ bc/c^2(a+b)+ac/a^2(b+c)+ab/b^2(a+c)
bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b) ≥ bc/b^2(a+c)+ac/c^2(a+b)+ab/a^2(b+c)
上述两式相加：
2（bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b)）≥ 1/a +1/b+1/c
因此：
2（bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b)）≥ 1/a +1/b+1/c ≥ 3(1/abc)^1/3 = 3
即：
bc/a^2(b+c) + ac/b^2(a+c) + ab/c^2(a+b) ≥ 3/2
所以：
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b) ≥ 3/2 当且仅当a=b=c=1时，取等号

Answer 2

给一个比较简单的方法,利用1=abc将化简不等式左边
1/a^3(b+c) = b^2c^2/a(b+c)
1/b^3(a+c) = a^2c^2/b(a+c)
1/c^3(a+b) = a^2b^2/c(a+b)
利用柯西不等式
[b^2c^2/a(b+c) + a^2c^2/b(a+c) + a^2b^2/c(a+b)] *[a(b+c) + b(a+c) + c(a+b)]
>=(bc+ac+ab)^2
所以1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b) >= (bc+ac+ab) / 2 >= 3(abc)^(2/3)/2 = 3/2