Question

焦点在x轴上的椭圆，离心率3的平方根/3,过左焦点的直线交椭圆与M,N两点，且2向量MF=5向量FN，求MN的斜率

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) ，左焦点为F.
|MF|＝5m，则|FN|＝2m，|MN|＝7m，
设直线l是椭圆的左准线，e是椭圆的离心率，e=√3/3.
作MM1⊥l于A1，作NN1⊥ l于B1,NA⊥MM1于A，
根据椭圆的第二定义，则|MM1|＝5m/e ， |N1N|＝2m/e ，
∴|AM|＝|MM1| - |N1N|=3 m/e，
所以cos∠MFx= cos∠NMA
=|AM|/|MN|=(3 m/e)/(7m)
=3 /(7e)
=3√3/7
从而tan∠MFx=√66/9.
∴MN的斜率为√66/9。

追问

焦点在x轴上的椭圆，离心率为根号3 /3,过左焦点的直线交椭圆与M,N两点，且2被向量MF=5被向量FN，求MN的斜率。若AB是经过椭圆中心且平行于MN的弦。证明|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项。