Question

求解一道解析几何证明题

椭圆中焦点三角形F1PF2。D非顶点，角F1DF2的内角平分线和外角平分线分别交x轴于M、N,证明椭圆焦半径(即c)是OM,ON的比例中项。（椭圆方程就是X方比a方加Y方比B方等于1）

Answer 1

你题目中的D应该改为P,是吗？
先来复习几个旧知识
1.三角形内（外）角平分线分对边所成的二部分的比=夹这个角的两边的比
2.椭圆的右焦半径=a-ex 左焦半径=a+ex e=c/a
3.合分比定理 若a/b=c/d，则(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)
证明：设点P(x0,y0) 点M(m,0),点N(n,0)
|F2M|/|MF1|=|PF2|/|PF1| (c-m)/(m+c)=(a-ex0)/(a+ex0) 由合分比定理得m=(x0*c^2)/a^2
|NF2|/||NF1=|a-ex0|/|a+ex0| 得n=a^2/x0
m*n=c^2 得证

Answer 2

点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1Q的延长线上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=a，由此可以求点M的轨迹方程．解答：解：点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1Q的延长线上，故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a（椭圆长轴长），
又OQ是△F2F1Q′的中位线，故|OQ|=2，
设M（x，y），则Q（2x，y），
所以有4x2+y2=4，
故答案为y24+x2=1．

Answer 3

现画图，根据椭圆基本定理（点到焦点的距离等于2a），再根据平分线性质。与椭圆的交点的长度比就是答案。

Answer 4

对焦点三角形分别用内角角平分线定理和外角角平分线定理，一步可以写出结论

Answer 5

作图很重要！
对于三角形问题，那三条辅助线很重要