Question

设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0则d的取值范围是？

Answer 1

解：
S5=5a1+10d
S6=6a1+15d
S5S6+15=0
(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0
整理，得
(a1+2d)(2a1+5d)+1=0
2a1²+9da1+10d²+1=0
要a1为实数，则方程判别式≥0
（9d)²-4×2×(10d²+1)≥0
整理，得
d²≥8
d≥2√2或d≤-2√2

等差数列前n项和公式得：S5 = 5*a1 + 10*d S6 = 6*a1+ 15*d
所以 S5S6+15=0 可写成 (5*a1 + 10*d) * (6*a1 + 15*d) + 15 = 0
即： 5（a1 + 2d）* 3(2*a1 + 5*d) +15 =0
（a1 + 2d）* (2*a1 + 5*d) +1 =0
得到 ：2*a1^2 + 9d*a1 + 10d^2 + 1 = 0
将它看做关于 a1 的方程，有解条件为： △ ≥ 0
即：（9d)^2 — 4*2*（10d^2 + 1）≥ 0
得： d^2 ≥ 8
则 d 的范围是 d≥2√2 或 d≤ — 2√2

Answer 2

见截图。

Answer 3

等差数列前n项和公式得：S5 = 5*a1 + 10*d S6 = 6*a1 + 15*d
所以 S5S6+15=0 可写成 (5*a1 + 10*d) * (6*a1 + 15*d) + 15 = 0
即： 5（a1 + 2d）* 3(2*a1 + 5*d) +15 =0
（a1 + 2d）* (2*a1 + 5*d) +1 =0
得到 ：2*a1^2 + 9d*a1 + 10d^2 + 1 = 0
将它看做关于 a1 的方程，有解条件为： △ ≥ 0
即：（9d)^2 — 4*2*（10d^2 + 1）≥ 0
得： d^2 ≥ 8
则 d 的范围是 d≥2√2 或 d≤ — 2√2