Question

设点G是三角形ABC的重心，若角A=120°，AB（向量）.AC（向量）=-1，则AG的长度的最小值是

答案是三分之根号2，我算的怎么是答案：三分之二倍根号2，我是这样做的，求出向量AB与AC的模等于2，AG=1/3(AB+AC) 设AB=X AC=Y，x+y≥2倍根号XY,即大于等于2倍根号2，这样AG不就≥三分之二倍根号2，错哪里了

Answer 1

AG=1/3(AB+AC)，这个等式中，AG ，AB，AC都是向量，不是长度。
利用基本不等式必须是正实数，不能是向量。

【解】
角A=120°，AB（向量）.AC（向量）=-1，
可得|AB||AC|cos120°=-1，|AB||AC|=2.

AG=1/3(AB+AC)，
则AG²=1/9(AB+AC) ²
AG²=1/9(AB²+AC²+2 AB*AC)
AG²=1/9(AB²+AC²-2)
即|AG|²=1/9(|AB|²+|AC|-2)
根据基本不等式可得：|AB|²+|AC|²≥2|AB||AC|=4，
∴|AG|²=1/9(|AB|²+|AC|-2) ≥1/9(4-2) =2/9，
|AG|≥√2/3.