Question

已知fx=|x-3|-2,gx=4-|x+1|,(1)若fx>=gx求x的取值范围(2)若不等式fx+gx>=a^2-3a有解,则实数a的取值范围为

Answer 1

1）f(x)>=g(x) ，则 |x-3|-2>=4-|x+1| ，
也即 |x-3|+|x+1|>=6 。
由绝对值的意义，左边表示 坐标为 x 的点到两点 -1 与 3 的距离之和 ，
所以由图可知，解集为 x<=-2 或 x>=4 。

2）因为 f(x)+g(x)>=a^2-3a 有解，
所以 a^2-3a<=max[f(x)+g(x)] 。
而 f(x)+g(x)=|x-3|-2+4-|x+1|=|x-3|-|x+1|+2 ，
由三角不等式，|x-3|-|x+1|<=|(x-3)-(x+1)|=4 ，也即 max[f(x)+g(x)]=6 ，
因此 a^2-3a<=6 ，
a^2-3a-6<=0 ，
解得 (3-√33)/2<=a<=(3+√33)/2 。

Answer 2

fx>=gx
当x≤-1时,x-3<0,x+1≤0;
∴ 3-x-2≥4+（x+1) ==>x≤-2
当-1<x<3时，x+1>0,x-3<0
∴ 3-x-2≥4-(x+1) ==> 1≥3空集
当x≥3时，x-3≥0,x+1>0
∴x-3-2≥4-(x+1) ==> x≥4
综上，原不等式的解集为
（-∞，-2]U[4,+∞)
2
h(x)=f(x)+g(x)=|x-3|-|x+1|+2
x≤-1时，h(x)=3-x+x+1+2=6
-1<x<3时，h(x)=3-x-(x+1)+2=-2x+4∈(-∞,-2)
x≥3时，h(x)=x-3-x-1+2=-2
∴h(x)的值域为[-2,6]
∵ fx+gx>=a^2-3a有解
∴存在h(x)的值≥a^2-3a
∴只需h(x)max≥a^2-3a
∴a^2-3a≤6
∴a^2-3a-6≤0
∴ (3-√33)/2≤a≤(3+√33)/2