Question

已知函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+16,其中常数a∈R,若f(x)在[-1,1]上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

∵f(x)在[-1，1]上单调递增
∴在[-1，1]上有：f’(x)≥0，恒成立
即：f’(x)(min)≥0
f’(x)=6x² - 6(a+1)x + 6a，开口向上，对称轴：x=(a+1)/2

①(a+1)/2＜-1，即a＜-3
此时f’(x)在[-1，1]上单调递增
∴f’(x)(min)=f’(-1)=12a+12≥0
即：a≥-1
又∵a＜-3
∴不满足。

②-1≤(a+1)/2≤1，即-3≤a≤1
即：f’(x)的对称轴：x=(a+1)/2 ∈ [-1，1]
∴当x=(a+1)/2时，有f’(x)(min)=f’[(a+1)/2]= -3(a-1)²/2≥0
即：a=1
∴a=1

③(a+1)/2＞1，即a＞1
此时f’(x)在[-1，1]上单调递减
∴f’(x)(min)=f’(1)=0
∴全部满足
即：a＞1

综上，a≥1

Answer 2

三次抛物线若三次方项的系数大于零，则图像逞大N字样或严格单调增，反之逞大N的倒影字样

或严格单调减。