Question

设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过p（1，0）,且在p点处的切线斜率为2

证明：f（x）小于等于2x-2

Answer 1

因为函数过（1,0），带进去得1 + a = 0，所以a = -1
对 f 进行求导得f'(x) = 1 + 2ax + b/x，因为在p点切线斜率为2
所以f'(1) = 2，所以有1 + 2a + b = 2，解得b = 3
所以f（x）=x - x² + 3lnx
令g（x）= （2x - 2）- f（x）= x² + x - 3lnx - 2
显然定义域为（0，正无穷）（lnx后面的x要非负）
求导得g'（x）= 2x + 1 - 3/x
令g'（x）= 0，所以2x + 1 - 3/x = 0，同乘以x，2x² + x - 3 = 0
（2x + 3）（x - 1）= 0，x = 1
可以判断，g在0到1之间导数为负数，所以递减
g在1到正无穷之间导数为正数，所以递增，所以g在0到正无穷上最小值在1上取到

所以g（1）= 2 + 1 - 3 = 0
故g ≥ 0
所以f（x）≤ 2x - 2在定义域上恒成立

Answer 2

ax2是2ax还是ax^2

Answer 3

将p带入函数可得a ＝-1
求导函数将x＝1 y ＝2带入得b ＝3
将求得的函数减2x -2得新函数再求其导，因为x 大于零，所以极大值在x ＝1处取到，把1带入新函数得y 最大得0，即此时函数减2x -2最大等于0既函数小于等于它