Question

已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在X轴、Y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC

已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在X轴、Y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值。
（3）设经过P、M、B 三点的抛物线于X轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H，如图，当点P从点O向C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H经过的路径长。（不必写解答过程）
已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在X轴、Y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值。
（3）设经过P、M、B 三点的抛物线于X轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H，当点P从点O向C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H经过的路径长。（不必写解答过程）

Answer 1

(1)M是中点，所以CM=BM 可证得△PMC≌△DMB，所以BD=CP.
因为P（0，m），所以CP=2-m，所以BD=2-m，所以AD=2-m+2=4-m，所以D（2,4-m）
（2）分三种情况讨论
①若AP=AD，则2^2＋m^2=(4－m)^2，解得m=3/2
②若PD=PA，过P作PF⊥AB于点F，则AF=FD= AD= （4－m），又OP=AF，所以m=1/2(4-m)
所以m=4/3
③若PD=DA，所以（4-m-m)^2+2^2=(4-m)^2，解得m1=2/3 m2=2，因为点P不与点C重合，所以m=2 舍去》
综上，当△APD是等腰三角形时，m的值为2/3或4/3或3/2
（3）5/2

Answer 2

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）
解：（1）由题意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，（2分）
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，（1分）
∴点D的坐标为（2，4-m）．（1分）
（2）分三种情况
①若AP=AD，则4+m的平方=（4-m）的平方，解得m=2分之3
②若PD=PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF=FD=2分之1 AD=2分之1倍的（4-m）
又OP=AF，
∴m=2分之1倍的 (4-m)m=3分之4 （2分）
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=2分之1倍的 PD=2分之1倍的 AD=2分之1倍的（4-m），
∵PC的平方+CM的平方=PM的平方，
∴(2-m)的平方+1=4分之1倍的 (4-m)的平方，
解得m1=3分之2 ，m2=2（舍去）．（2分）
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为2分之3 或3分之4 或3分之2．
（3）点H所经过的路径长为 4分之根号5π（2分）
当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y=-x的平方+3x，
此时ME的解析式为y=-x+3，
得到△OEF是等腰直角三角形，
∵OH⊥EF，正方形OABC，
∴△OHE为等腰直角三角形，
∴点O、H、B三点共线，
∴点H所经过的路径以直径为OM的弧长，
∵∠COH=45°，OM= 根号5 ，
则弧长= 180分之nπr = 4分之5 π．

Answer 3

连接OM，
因为<MHO=90度
所以点H总在以OM为直径的圆上
所以点H经过的路径足圆弧

Answer 4

答案