Question

用函数单调性证明函数f（x）=－x的平方+2x+3在区间(－∞，1]上是增函数]

Answer 1

任取x1，x2 ≤ 1，且x1＜ x2
f（x1）- f（x2）= -x1² + 2x1 + 3 - （-x2² + 2x2 + 3）
= -x1² + 2x1 + x2² - 2x2
=（x2 - x1）（x2 + x1）- 2（x2 - x1）
=（x2 - x1）（x2 + x1 - 2）
前一项为正数，后一项为非正数，所以小于等于0

也就是f（x1）≤ f（x2），所以 f 在区间(－∞，1]上是增函数

Answer 2

证明：任取x1，x2 ≤ 1，且x1＜ x2
f（x1）- f（x2）= -x1² + 2x1 + 3 - （-x2² + 2x2 + 3）
= -x1² + 2x1 + x2² - 2x2
=（x2 - x1）（x2 + x1）- 2（x2 - x1）
=（x2 - x1）（x2 + x1 - 2）
x2 - x1＞0，x2 + x1 - 2＜0，所以f（x1）- f（x2）＜0

即f（x1）≤ f（x2），所以 f（x）=－x的平方+2x+3在区间(－∞，1]上是增函数

Answer 3

f（x）=－x的平方+2x+3
=4-(x-1)^2
设有△x>0
又x<=1
所以
f（x+△x）-f(x)
=－2x△x-△x的平方+2△x
=△x(2-2x-△x)
=-△x[2(x-1)-△x]
>0
所以函数f（x）=－x的平方+2x+3在区间(－∞，1]上是增函数

Answer 4

设 x1 x2 ∈(-无穷,1] 且 x1>x2
f(x1)-f(x2)
=-x1²+2x1+3-[-x2²+2x2+3]
=x2²-x1²-2(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1-2)
因为 x1>x2 所以 x2-x1<0
x1≤1 x2<1
x1+x2<2
所以 x1+x2-2<0
所以
上式>0
得 f(x1)>f(x2)
所以
函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数

Answer 5

f（x）=－x的平方+2x+3，对x 求导,得，f'(x)=-2x+2=0, x=1 定义域分为－∞，1) (1，∞，

f'(0）=0+0+3>0 ( －∞，1)上f'(x)>0恒成立，
f（x）=－x的平方+2x+3在区间(－∞，1]上是增函数]