Question

设数列an的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1 求a1 a2 a3 求证:数列{an+2}是等比数列 求数列{n*an}的前n项和Tn

Answer 1

2a1=a1+2+1 得 a1=3
2an=Sn+2n+1
2a(n+1)=S(n+1)+2(n+1)+1
相减得
2a(n+1)-2an=a(n+1)+2
a(n+1)=2an+2
a2=2a1+2=6+2=8
a3=2a2+2=16+2=18

a(n+1)=2an+2
两边同时加2得
a(n+1)+2=2an+4
a(n+1)+2=2(an+2)
[a(n+1)+2]/(an+2)=2
所以 an+2为首项为a1+2=3+2=5
公比为2的等比数列

an+2=3*2^(n-1)
an=5*2^(n-1)-2
n*an=5n2^(n-1)-2n
分成两个数列
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得，-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5

追问

谢谢

Answer 2

因S1=a1，将n=1代入2an=Sn+2n+1中，得
2a1=a1+2*1+1,得a1=3

将n=2代入2an=Sn+2n+1中，得
2a2=(3+a2)+2*2+1,得a2=8

将n=3代入2an=Sn+2n+1中，得
2a3=(3+8+a3)+2*3+1,得a3=18

第二问：
由2an=Sn+2n+1,得Sn=2an-2n-1
因Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an
则有Sn=a1+a2+a3+.....+a(n-1)+an=2an-2n-1
得S(n-1)=an-2n-1
将n-1代入2an=Sn+2n+1中，得S(n-1)=2a(n-1)-2n+1
所以an-2n-1=2a(n-1)-2n+1
整理，得an=2a(n-1)+2
两边加2，得an+2=2a(n-1)+4=2(a(n-1)+2)
所以[an+2]/[a(n-1)+2]=2
即an+2是公比为2的等比数列。
先做到这，我还有事，希望以上两解对你有帮助，第三问你自己能做了吧。

Answer 3

由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）…… ①
1. 令n=1，可得：a1=3.
带入①式，易得：a2=9，a3=20；
2. ①式即为an+2=2[a(n-1)+2]，故有：
(an+2)/[a(n-1)+2] =2，所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项，再求Tn即可

Answer 4

由2an=Sn+2n+1
2a(n-1)=S(n-1)+2(n-1)+1，得：
an-2a(n-1)=2 （n>1）……A
1. 当n=1时，a1=3.
带入A式，a2=9，a3=20；
2. A式即为an+2=2[a(n-1)+2]，所以：
(an+2)除以[a(n-1)+2] =2，所以an+2是公比为2的等比数列。
3. 由上式可求的n*an的通项，再求Tn即可

追问

有意思没 居然变了个字母

Answer 5

a1、a2、a3很好求不解释，直接给答案。
a1=3、a2=8、a3=18
2An=Sn+2n+1
2A（n-1）=S（n-1）+2（n-1）+1
两式相减得：An=2A（n-1）+2
也就是（An+2）=2（A（n-1）+2）
也就是说，数列{An+2}是首项为5，公比为2的等比数列
An=5*2^(n-1)-2
设Cn=n*An
所以Cn=5n*2^（n-1）-2n
Tn=5[1*1+2*2+3*2^2+…+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)]-2(1+2+3+…+n)①
2Tn=5[1*2+2*2^2+3*2^3+…+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-4(1+2+3+…+n)②
①-②得，-Tn=5[1+2+2^2+…+2^(n-1)-n*2^n]+2(1+2+3+…+n)
=5(2^n-1-n*2^n)+n(n+1)
=5(1-n)2^n+n^2+n-5
Tn=5(n-1)2^n-n^2-n+5
结束了……