Question

在平行四边形ABCD中，AE垂直BC于E，AF垂直CD于F，角EAF=60度，CF=2，CE=3，求平行四边形ABCD的周长和面积

Answer 1

如图：∵在平行四边形ABCD中，AE垂直BC，AF垂直CD，∠1=60度

∴∠C=120，∠B=∠D=60度，∠2=∠3=30度

∵CF=2，CE=3，若设BE=x

则AD=BC=x+3，CD=AB=2x，DF=(x+3)/2，CD=(x+3)/2+2

解2x=(x+3)/2+2 得x=7/3

∴AD=BC=7/3+3=16/3，CD=AB=2*7/3=14/3

∴平行四边形ABCD的周长是2(16/3+14/3)=20

∵在RtΔABE中，∠2=30度，BE=7/3

∴AE=7/3√3

∴平行四边形ABCD的面积为16/3*7/3√3=112/9 √3

Answer 2

延长AF与BC的延长线交于点G
因为AF垂直DC于F
所以角CFG=90度
因为AE垂直BC于E
所以角AEG=90度
因为角EAF=角EAG=60度
所以角G=30度
所以在直角三角形CFG中，CF=1/2CG (在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得;CG^2=CF^2+FG^2
因为CF=2
所以：CG=4 FG=2倍根号3
所以在直角三角形AEG中，AE=1/2AG（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半）
AG^2=AE^2+EG^2
因为CE=3 EG=CE+CG
所以CG=7 AG=14倍根号3/3 AE=7倍根号3/3
因为AG=AF+FG
所以AF=8倍根号3/3
所以FG/AF=3/4
因为ABCD是平行四边形
所以AB=DC AD=BC
AD平行BG
所以角DAF=角G
角D=角FCG
所以三角形ADF和三角形GCF相似
所以DF/CF=AD/CG=AF/FG=4/3
所以AD=4*4/3=16/3
DF=2*4/3=8/3
DC=CF+DF=2+8/3=14/3
所以平行四边形ABCD的周长=2AD+2DC=2*(16/3+14/3)=20
平行四边形ABCD的面积=AD*AE=16/3*7倍根号3/3=112倍根号3/9=9分之112倍根号3
s

Answer 3

在平行四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．→平行四边形中对角、对边分别相等
∵AE垂直BC于E，
∴在Rt△ABE中，BE=2，AB=4，由勾股定理求得AE=2根号3，
∴CD=AB=4，
∵CF=1，∴DF=3，
∵AF⊥DC，∠D=60°
∴在Rt△ADC中，AD=6
∴EC=BC-BE=AD-BE=6-2=4．
之后周长和面积自己算（很好算）

Answer 4

解：∵AE垂直BC，AF垂直CD，∠EAF=60度
∴∠C=120
∵平行四边形ABCD
∴AD‖BC，AB‖CD
∴∠B=∠D=60度
由勾股定理得：
DF=AD/2，BE=AB/2
设AD为X，∵CE=3，CF=2
则X/2+2=（X-3）2
解得X=16/3
∴DF=8/3
∴CD=8/3+2=14/3
∴C平行四边形ABCD=2*16/3+2*14/3=20
平行四边形ABCD的周长20
平行四边形ABCD的面积=14/3 * 16/3 *v3/2 = 112/9 v3