Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E。弦DF／／AC，交⊙O于点F，EF的

Answer 1

题目没写完……

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E。弦DF／／AC，交⊙O于点F，EF的延长线交BC的延长线于点G。 （1）求证：△BEF是等边三角形； （2）若BA＝4,CG＝2,求BF的长度。

1、因为DF／／AC，所以角DFE=角CEF，
因为角DFE=角EBD，角CEF=角CBF，所以角DBE＝角CBF
角EBF＝角EBD+角DBF=角CBF+角DBF＝角ABC＝60度
又因为角EFB＝角ECB＝60度，所以对三角形BEF内有两个角是60度，所以三角形BEF为正三角形。
2、连接CF、DE，设AD与EF交点为H点，
由题意可知三角形ADE为小正三角形，设边长为a,
依题意可知DF＝BC＝4，CF=a,且CF平行BD
可得CF：BH=CG：BG，a：（4+AH）=2：6，得AH=3*a-4
则DH＝AD－AH＝a-(3*a-4)=4-2*a
因AH平行CF，所以AH：CF=EA：EC，（3*a-4):a=a:(a+4)
解得，a=2*（根号3）-2
BD=AB+AD=4+2*（根号3）-2=2*（根号3）+2
在三角形BDF中，用余弦定理可得
BF平方=BD平方+DF平方-2*BD*DF*cos60=32
BF=4*（根号2）

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