Question

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5其导函数的图象经过点(1.0)(2.0)求x0及abc的值，求详细过程

Answer 1

f(x)=ax³+bx²+cx
f'(x)=3ax²+2bx+c
其导函数的图象经过点(1.0)(2.0),则
方程3ax²+2bx+c=0的两根分别为1,2
1+2=-2b/(3a),b=-9a/2①
1*2=c/(3a),c=6a②
函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,即
当a>0时,极大值为f(1)=5,即a+b+c=5③
①②代入③得a=2

当a<0时,极大值为f(2)=5,即8a+4b+2c=5④
①②代入④得a=5/2，舍
所以x0=1,a=2分别代入①②得b=-9,c=12

Answer 2

f'(x)=3ax^2+2bx+c
导函数的图象经过点(1.0)(2.0), 即导数f'(x)的零点为1，2
由韦达定理，得：-2b/(3a)=1+2=3, c/(3a)=1*2=2
解得：b=-9a/2,c=6a,
即：f(x)=a(x^3-9x^2/2+6)
若a>0, 则极大值为f(1)=a(1-9/2+6)=5a/2=5， 得：a=2, 符合. 此时b=-9, c=12, x0=1
若a<0, 则极大值为f(2)=a(8-18+6)=-4a=5, 得：a=-5/4, 也符合，此时b=45/8, c=-15/2, x0=2

Answer 3

你好，解答如下：
求导得，f'（x）= 3ax² + 2bx + c
因为导函数经过（1,0），（2,0），所以带进去有
3a + 2b + c = 0
12a + 4b + c = 0
因为导函数是二次函数，所以能取到极大值的点只有x = 1或者x = 2这两个点
当x0 = 1取到极大值时，原函数是经过（1,5），代入得
a + b + c = 5
三条方程解得a = 2，b = -9，c = 12

当x0 = 2取到极大值时，原函数经过（2,5），代入得
8a + 4b + 2c = 5
解得a = 5/2，b = -35/4，c = 10

所以解为以上两种

Answer 4

函数f(x)的导数过点(1，0)和(2，0)，则导函数f'(x)=3ax²＋2bx＋c的零点是1和2，则：
方程3ax²＋2bx＋c=0的两根是x1=1、x2=2；
1、若a>0，则函数f(x)应该是在x0=1处取得极大值5，即：f(1)=5；
2、若a<0，则函数f(x)应该是在x0=2处取得极大值5，即：f(2)=5
简单讨论下，就可以算出a、b、c的值了。

Answer 5

解：
当x=1和2，f'(x)=0，
所以极值点是1和2，
所以x0=1或x0=2。
f'(x)=3ax²+2bx+c，
所以x1=1,x2=2，
得x1+x2=-2b/3a，x1x2=c/3a，
所以b=-9a/2,
c=6a，
f(x)=ax³-9ax²/2+6ax，
若f(1)=5，则a=2，
f(2)=2，则a=5/2，
a>0时，x<1,x>2,f'(x)>0,
增函数。
a<0,是减函数，
所以x=1是极大值点，
所以a=5/2舍去，
故a=2，b=-9，c=12。