Question

已知抛物线y=-x^2+2mx-m^2-m+2

（1）判断抛物线的顶点与直线l:y=-x+2的位置关系
（2）设该抛物线与x轴较于M、N两点，当OM*ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式
（3）直线l交x轴交于A，（2）中所求的抛物线的对称轴与x轴交于点B。那么在抛物线对称轴上是否存在点p，使圆P与直线l和x轴同时相切？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）由抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2=-（x-m）2-m+2，
得顶点坐标为（m，-m+2），显然满足y=-x+2
∴抛物线的顶点在直线L上．
（2）设M（x1，0），N（x2，0），且x1＜x2．
由OM•ON=4，OM≠ON，得|x1•x2|=4．
∵x1x2=m2+m-2，∴|m2+m-2|=4．
当m2+m-2=4时，m1=2，m2=-3
当m2+m-2=-4时，△＜0，此方程无解，
∵△1=（2m）2-4（m2+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
则抛物线的解析式为y=-x2-6x-4．

（3）抛物线y=-x2-6x-4的对称轴为x=-3，顶点（-3，5）．
依题意，∠CAB=∠ACB=45°．
若点P在x轴的上方，设P1（-3，a）（a＞0），
则点P1到直线L的距离P1Q1为a（如图），
∴△CP1Q1是等腰直角三角形．
∴，．
∴P1（-3，5．
若点P在x轴的下方，设P2（-3，-b）（b＞0），
则点P2到直线L的距离P2Q2为b（如图），
同理可得△CP2Q2为等腰直角三角形，
∴，．
∴P2（-3，．
∴满足条件的点有两个，
即（-3,5根号2-5）和（-3，-5根号2-5）．