Question

设函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+cx(a<b<c),其图像在点A(1,f(1)),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为0,-a.

设函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+cx(a<b<c),其图像在点A(1,f(1)),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为0,-a.
(1)求证：0<=b/a<1;
(2)若函数f(x)的递增区间为[s,t],求|s-t|的取值范围；
(3)若当x>=k时（k是与a,b,c无关的常数），恒有 f ’(x)+a<0,试求k的最小值

Answer 1

.(1)证明：∵ f′（x)=ax2+2bx+c

∴f′(1)=a+2b+c=0

又∵a＜b＜c, ∴a＜b＜0, ∴0≤b／a＜1

（2）由（1）可知，f′（x）的图像开口向下，（1，0）为与x轴得一个交点。

∵a＋2b＋c=0…①

am^2＋2bm＋c=－a …②,

①－②,得：b／a＝m2／（2－2m）,

∵1+X^2=－b／a

∴x^2=m2／（2m－2）－1

∴|s－t|≤1－x2＝2－m／（2m－2）

(3)依题意得：ak^2＋2bk＋c＋a＜0恒成立

又∵am^2＋2bm＋c＋a＝0图像对称轴为-b／2a,

∴a[（2m－m2）／（2m－2）]2＋2b[（2m-m2）／（2m－2）]＋a＋c＝0

∴k＜（2m－m2）／（2m－2）或k＞m

Answer 2

002