Question

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平

如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连接P/Q 求证AB∥PQ

Answer 1

（1）设正比例函数解析式为y=kx，反比例函数解析式为y=m/x，点M（-2，-1）图象上，于是
-2k=-1，k=1/2，m=2，
所以，两函数解析式分别为：y=x/2，y=2/x。
（2）存在。
当Q在直线OM上时，可设其坐标为（x，x/2），S△AOP=AP*OA/2=2*1/2=1。
S△OBQ=S△AOP，即|x|*|x/2|/2=1，x=2或-2，
Q点的坐标为（2，1）或，（-2，-1）。
（3）点Q在双曲线y=2/x在第一象限的部分上，其坐标为（x，2/x），平行四边形OPCQ中周长要最小，由于OP的长一定，为根号5，所以，只要OQ的长最小即可。
OQ平方=x^2+(2/x)^2=(x-2/x)^2+4，当x=2/x时，OQ的平方有最小值，这时x=根号2（负值舍去），
OQ的最小值为2，所以周长的最小值为4+2根号5。

Answer 2

(1)设正比例函数为y=k1x,（-2，-1）代入 k1=1/2 正比例函数为y=1/2x
设反比例函数为y=k2/x, (-2,-1)代入 k2=2 反比例函数为y=2/x
(2)点Q在直线MO上，设Q(X,1/2X) OB⊥OY,点B(0,1/2X)
三角形OAP面积=1/2*2*1=1 所以三角形OBQ=1/2*|X|*|X|/2=1 X=±2，
点Q为（±2，±1）
(3)A(-1,0) B(0,1) AB的斜率为1 P(-1,-2) 当Q为(2,1) PQ的斜率=1 所以AB∥PQ
当Q为(-2,-1)时，不满足AB∥PQ