Question

初三数学题！！在线等！

在生产中为节约原料,加工零件是常用一些边角余料。如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，其中BC=12，高AD=8.在△ABC中截取矩形PQMN，试判断点PN在什么位置时，才能使得矩形PQMN的面积最大？求出最大面积和此时矩形的长宽？

Answer 1

令AD,PN交点为O 就有AO/AD=PN/BC,PQ=8-AO,S=PQ*PN,可以设PQ=X，联立上面式子有S=3（8-X）*X 就可以确定最大值了

Answer 2

设矩形PQMN的边QM在AB上，N、P分别在AC、AB上。令△ABC的高为AD，且AD、PN相交于E。
显然有：AE⊥PN、PN＝QM、MN＝DE。还有：△ABC∽△APN，∴PN/BC＝AE/AD，
∴QM/120＝（AD－DE）/80，　∴QM＝3（80－MN）/2，　∴y＝3（80－x）。

第二个问题：
矩形PQMN的面积＝QM×MN＝3x（80－x）/2＝（3/2）（80x－x^2）
＝（3/2）×1600－（3/2）（1600－80x＋x^2）＝3×800－（3/2）（x－40）^2。
很明显，当x＝40（mm）时，矩形PQMN的面积取得最大值。
此时，QM＝3（80－40）/2＝60（mm）。
∴当矩形PQMN面积最大时，矩形的x和y分别是40mm和60mm，最大面积是2400平方毫米