Question

如图所示,在△ABC中,∠A=90°,O为BC边上一点,以O为圆心,半圆分别与AB、AC相切于点D、E，若BD=2，AD=3，

求图中两部分阴影面积和（要过程）

Answer 1

先PS下：你图上的F应该是D吧～～

因为半圆分别与AB、AC相切于点D、E
所以∠ADO=∠DOE=∠EAD=90°
又因为OD=OE
所以四边形ODAE为正方形
所以OD=OE=AE=AD=3
因为∠DOE=90°
所以∠DOB+∠EOC=90°
tan∠EOC=tan(90°-∠DOB)=cot∠DOB=OD/BD=3/2
又tan∠EOC=EC/EO=EC/3=3/2
所以EC=9/2
阴影部分面积和=S△OBD+S△OEC-扇形的面积和
S△OBD=BD*OD/2=2*3/2=3
S△OEC=EC*OE/2=9/2*3/2=27/4
2边的2个扇形的圆心角总和为90°
所以2个扇形的面积和等于一个圆心角90°，半径为3的扇形面积
所以2个扇形的面积和=90/360*π*3^2=9π/4
所以阴影部分面积和=S△OBD+S△OEC-扇形的面积和=3+27/4-9π/4=(39-9π)/4

Answer 2

如图，设⊙O与BC交于M、N两点，
由（1）得：四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=2 3 ，OE=3，
∴EC=9 2 ，
∴S扇形DOM+S扇形EON=S扇形DOE=1 4 S圆O=1 4 π×32=9 4 π，
∴S阴影=S△BOD+S△COE-（S扇形DOM+S扇形EON）=39 4 -9 4 π，
答：图中两部分阴影面积的和为39 4 -9 4 π．

Answer 3

因为半圆分别与AB、AC相切于点D、E
所以∠ADO=∠DOE=∠EAD=90°
又因为OD=OE
所以四边形ODAE为正方形
所以OD=OE=AE=AD=3
因为∠DOE=90°
所以∠DOB+∠EOC=90°
tan∠EOC=tan(90°-∠DOB)=cot∠DOB=OD/BD=3/2
又tan∠EOC=EC/EO=EC/3=3/2
所以EC=9/2
阴影部分面积和=S△OBD+S△OEC-扇形的面积和
S△OBD=BD*OD/2=2*3/2=3
S△OEC=EC*OE/2=9/2*3/2=27/4
2边的2个扇形的圆心角总和为90°
所以2个扇形的面积和等于一个圆心角90°，半径为3的扇形面积
所以2个扇形的面积和=90/360*π*3^2=9π/4
所以阴影部分面积和=S△OBD+S△OEC-扇形的面积和=3+27/4-9π/4=(39-9π)/4

Answer 4

容易得到ADOE为正方形,则BO=根号下13,连AO,则AO=根号下18,∠DBO+∠BOD=90°=∠EOC+∠BOD,所以∠DBO=∠EOC,所以△DBO∽△EOC,所以(DB/DO)=(EO/EC),所以EC=9/2,所以AC=15/2,所以S△ABC=75/4,S□ADOE=9,2个扇形面积S1=π*DO*DO/4=9π/4,阴影部分面积S=S△ABC-S□ADOE-S1=(39/4)-9π/4