Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠A=120°，AB=2√3，BC=4-2√2，CD=4√2，则AD长为多少？

Answer 1

方法一：连接BD，在△BCD中用余弦定理求得：BD²=BC²+CD²-2BC*CDcos120°=40
∴BD=2√10
由正弦定理BD/sin120°=DC/sin∠DBC
∴sin∠DBC=√15/5
cos∠DBC=√(1-sin²∠DBC)=√10/5
cos∠ABD=cos(135°-∠DBC)=(-√2/2)*√10/5+(√2/2)*√15/5=-√5/5+√30/10
在△ABD中用余弦定理求得:AD²=AB²+BD²-2AB*BDcos(∠ABD)=28-8√6=4-8√6+24=(2+2√6)²
∴AD=2+2√6

方法二：
也可以用几何方法，过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N
那么BM=AM=√6，CN=2√2，DN=2√6
过A向DN做垂线AE，则AE=BM+BC+CN=4+√6
DE=DN-AB=√6
那么AD²=AE²+DE²=16+8√6+6+6=28+8√6=(2+2√6)²
∴∴AD=2+2√6

Answer 2

连接AC。
在△ABC中：
AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*Cos∠B （余弦定理）
=12+24-16√2+4√3*（4-2√2）*Cos45°
=36-16√2-8√3+8√6
≈19.116
AC≈4.372

在△ABC中：
Sin∠B/AC=Sin∠BCA/AB （正弦定理）
Sin∠BCA=AB*Sin∠B/AC
=2√3*(√2/2)/4.372
=√6/4.372
≈0.560
∠BCA≈34°
∠BAC=180°-∠B-∠BCA≈11°
∠DAC=120°-∠BAC≈109°

在△ACD中：
Sin∠D/AC=Sin∠DCA/CD （正弦定理）
Sin∠D=AC*Sin∠DCA/CD
=4.372*Cos19°/（4√2）
≈0.7309
∠D≈47°
∠ACD=180°-∠D-∠DAC≈24°

在△ACD中：
Sin∠ACD/AD=Sin∠DAC/CD （正弦定理）
AD=CD*Sin∠ACD/Sin∠DAC
=（4√2）*Sin24°/Cos19°
≈2.433
答：AD长约2.433。
可能还有简便算法，供参考。