Question

已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx<2/3x∧3

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx，　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x。
令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0，得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0。
∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0。
考虑到函数的定义域，需要x＞0。　∴只有：x^2＞a、x＞0。

考查x^2＞a、x＞0，当a≦0时，x＞0。　当a＞0时，x＞√a。
∴当a≦0时，函数的增区间是（0，＋∞）、没有减区间。
　当a＞0时，函数的增区间是（√a，＋∞）、函数的减区间是（0，√a）。

第二个问题：
令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3。
求导数，得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x。
显然，当x＞1时，F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0，
∴当x＞1时，F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函数，而F′（1）＝1＋1－2＝0，
∴当x＞1时，F′（x）＜0，　∴当x＞1时，F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函数，
又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0，
∴当x＞1时，F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0，
∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 。