Question

行满秩矩阵为什么一定有解..需要详细的解释和标准证明..

Answer 1

设方程组为Ax=b,A为m*n矩阵,且 r(A)=m。
则 A 的列向量是m维向量,且列向量组的秩为m。
故 r(A,b)=m -- m维向量组的极大无关组的个数不超过m。
所以方程组有解。

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。满秩矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A），根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。

需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。单位阵是单位矩阵的简称，它指的是对角线上都是1，其余元素皆为0的矩阵。在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，我们称这种矩阵为单位矩阵，简称单位阵。它是个方阵，除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0。可用将系数矩阵转化成单位矩阵的方法解线性方程组。

Answer 2

你的问题并不准确，应该是当A是行满秩阵时，线性方程组Ax=b一定有解

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

定义1:用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A），根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

Answer 3

行秩=列秩=矩阵的秩，当r(A)=m时，n个列向量的秩还是m，这样，在n列的基础上增加1列，增广矩阵的秩仍然是m，符合有解的充要条件。秩永远都是线性代数的核心，灵魂。

Answer 4

设方程组为Ax=b, A为m*n矩阵, 且 r(A)=m.
则 A 的列向量是m维向量, 且列向量组的秩为m
故 r(A,b)=m -- m维向量组的极大无关组的个数不超过m
所以方程组有解.

Answer 5

你是指 m by n 的矩阵A的秩等于m时,非齐次方程Ax=b一定有解吧?
A 可以看做从 K^n 到 K^m 的线性映射,它的像 im(A) 就是A的n个列向量生成的 K^m 生成的子空间.
im(A) 的维数就是A的秩,它等于m 意味着 im(A) 就是整个 K^m.所以m维向量b属于im(A),即可用A的列向量线性表示.

仅供参考,我不知道标准的证明.