Question

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．

Answer 1

1)求b+c的值
2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式
3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标

1）设B（0,c），A（-c,0）
把A点带入y=-x^2+bx+c
可得到b+c=1
2）点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，则可得到OA平行且等于BC，则C（c,c）。
带入y=-x^2+bx+c，再联立1）中的等式，可得到y=-x^2+0.5x+0.5
3）有点麻烦的方法。先求出直线PB的解析式。一点B已知，再求出OC的中点的这个点，因为△OBC为等腰直角三角形，三线合一。中点坐标为（1/4,1/4）。则直线PB：y=-x+1/2.，联立方程y=-x^2+0.5x+0.5，即可得知P点坐标。

Answer 2

解答：解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2 bx c得：
-1-b c=0
c=3
，
解得：
b=2
c=3
，
∴抛物线的解析式为：y=-x2 2x 3，
令y=0，即-x2 2x 3=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；

（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=
2
，BC=3
2
．
∴
CD
CB
=
2
3
2
=
1
3
=
OA
OC
，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，-
1
3
）；

（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∵OC=OB，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x2 2x 3上，
∴-x2 2x 3=x，
解得x=
1±
13
2
，
∴Q（
1
13
2
，
1
13
2
）或（
1-
13
2
，
1-
13
2
）．