Question

P级数敛散性的证明积分证法Sn能等同于积分吗？不理解，急！

Answer 1

看你对“等同”是怎么理解的。更准确的说法是，P级数的部分和与x^(-p)在有限区间上的积分是可以相互控制的，所以它们是同敛散的，这就是“等同”的含义。
具体的说：
∫(n, n+1) dx / x^p <1/n^p < ∫(n-1, n) dx/x^p
所以
∫(2, n+1)dx / x^p <Sn - 1 < ∫(1, n) dx/x^p
什么叫做相互控制呢？在上面这个不等式中，如果Sn有限，那么Sn有上界 M,则∫(2, n+1)dx / x^p <Sn - 1 < M-1也有界，所以无穷积分收敛。
如果无穷级数发散，那么Sn无上界，则∫(2, n+1)dx / x^p > Sn无上界，所以无穷积分发散
如果无穷积分收敛，那么积分 ∫(1, n) dx/x^p 有上界M2,那么Sn < M2 + 1，即部分和有上界，所以无穷级数收敛。
如果无穷积分发散，那么∫(2, n+1)dx / x^p 无上界，所以 ∫(2, n+1)dx / x^p + 1 < Sn无上界，即无穷积分发散。
以上四个方面说明它们的确是同敛散的。
当然，只有当你的函数是单调递减的正函数时才可能出来一个积分值与级数和相互控制的不等式，这就是用积分法的条件。

追问

∫(2, n+1)dx / x^p <Sn - 1 < ∫(1, n) dx/x^p是什么意思？ / x的p次方没有看懂，是对x的p次方求积分吗

追答

我错了...
用小括号括起来的是积分的上下限
dx / x^p就是1/x^p * dx,就是对1/x^p求积分

追问

从第一个式子我就没看懂，为什么会有那个不等得关系呢

追答

因为在n < x < n+1 时, 1/(n+1)^p < 1/x^p < 1/n^p
两边在n到n+1上积分，得
1/(n+1)^p < ∫(n, n+1) dx / x^p < 1/n^p
∫(n, n+1) dx / x^p < 1/n^p就是第一个式子左边那个不等号
1/(n+1)^p < ∫(n, n+1) dx / x^p 中把n换成n-1就是第一个式子右边那个不等号

追问

啊，第2个式子又看不懂了，为什么从2到n+1的积分呢？和Sn又有什么关系呢

追答

真抱歉……我今天好像老是跳步……
是这样的：把那个不等式中的n依次换成2, 3, ..., n-1, n，得到的n-1个不等式相加。最左边有(n-1)个积分相加，积分上下限为2到n+1。中间是1/2^p + 1/3^p + ... + 1/n^p，这里是前n项和中去掉第一项1/1^p，所以是Sn - 1；右边也是(n-1)个积分相加，同理。这里之所以没有从把n从1开始加起是因为1/x^p在(0,1)上的积分是发散的，所以从n=2开始。
我再过一会儿就睡了，如果你还有问题的话我有可能明天才能看到……

追问

看过程明白了，但感觉好复杂，自己不会用，只要是单调递减的正函数都可以用吗