Question

已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值

Answer 1

最小值为1/32。三种情况下取得此最小值：（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）、（1/4,1/4,1/2）。 求解思路： 由a+b+c=1得b+c=1-a。 由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a，整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a，由此得bc=a(1-a)/(10a-1)。 所以，abc=a^2(1-a)/(10a-1)。求此式最小，此式中仅有一个变量a。 讨论a的取值范围。 由于b+c=1-a，bc=a(1-a)/(10a-1)，又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0。 所以，(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0，整理得-10a^2+7a-1>=0，所以1/5<=a<=1/2。 由于a,b,c三个变量是对称的，又a+b+c=1，所以a,b,c中至少有一个大于等于1/3。 不失一般性，令a>=1/3。所以，1/3<=a<=1/2。 讨论函数y=abc=a^2(1-a)/(10a-1)在区间[1/3,1/2]的单调性。 通过尝试绘制图形，可以得到y在区间[1/3,2/5]单调上升，在[2/5,1/2]单调下降（该结论可以用高等数学中的内容证明），且y在a=1/3处的取值大于a=1/2处的取值。所以y在a=1/2处取得最小值，最小值为1/32。 当a=1/2时，b+c=1-a=1/2，bc=a(1-a)/(10a-1)=1/16，所以b=c=1/4。 因为a具有一般性，a,b,c三个变量是对称的，所以在a,b,c取值为（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）和（1/4,1/4,1/2）时，都取得最小值1/32.

Answer 2

∵a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,
而1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc
∴(ab+bc+ca)=10abc
故(ab+bc+ca)²=( a²b²+ b²c²+c²a²)+2 abc(a+b+c)
=( a²b²+ b²c²+c²a²)+2 abc=100 a²b²c²
又a²b²+ b²c²+c²a²=[( a²b²+ b²c²)+( b²c²+c²a²)+( a²b²+c²a²)]/2
≥abc(a+b+c)= abc
∴100 a²b²c²≥abc+2 abc=3 abc
故100 abc≥3
abc≥3/100, abc的最小值是3/100

Answer 3

1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=10
ab+bc+ca=10abc

平均值不等式
a^2b^2+b^2c^2>=2ab^2c
b^2c^2+c^2a^2>=2abc^2
c^2a^2+a^2b^2>=2a^2bc
三式相加
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)
(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)
(10abc)^2>=3abc
abc>=3/100

追问

不好意思 错了 答案是1除以32

Answer 4

构造函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc=x3-x2+10tx-t ，t为待求，转化为三次方程有三正根问题

Answer 5

得1/32
a,b,c可令ab相等，然后求解，a=b=1/4,c=1/2