Question

无穷级数一道自测题：若∑U(2n-1)+U(2n+1)收敛，则∑Un收敛。为什么是假命题？

2012版 李永乐数学三，262页，即级数自测题的第4题中有一个命题：若∑U(2n-1)+U(2n+1)收敛，则∑Un收敛。n初始值为1。答案认为这个明天是假的，求高人解释这两个级数为什么不同？谢谢！
题目输入失误，做点改动：若∑U(2n-1)+U(2n)收敛，则∑Un收敛。

Answer 1

不同啊，首先想这样一个问题，
如果∑U(2n-1)收敛，是不是∑U(2n+1)收敛（因为∑U(2n+1)比∑U(2n-1)少一个U1）
反过来∑U(2n-1)+U(2n+1)收敛，则U1+∑U(2n-1)+U(2n+1)收敛，也就是2∑U(2n-1)收敛
所以∑U(2n-1)+U(2n+1) 与∑U(2n-1)的敛散性相同。
其次再想，如果∑U(2n-1)收敛，只是说∑Un中的奇数项收敛，对偶数项没要求，
如果此时恰好∑U(2n-1)收敛∑U2n发散的话，则有∑U(2n-1)+U(2n+1)收敛，∑Un发散。
综上，这个是假命题

追问

不好意思，题目输错了。。。。真心对不起！

追答

构造一个数列吧，都一样的..你看下
比如U(2n-1)=2^n
U(2n)=-2^n
则U(2n-1)+U(2n)=2^n-2^n=0
所以有∑U(2n-1)+U(2n)=收敛
而∑Un={ 0 n是偶数
2^n n是奇数
发散
不过话说回来，∑Un收敛，可以推出∑U(2n-1)+U(2n)收敛