Question

证明a²b²+b²c²+c²a²＞abc（a+b+c）

Answer 1

2a²b²+2b²c²+2c²a²-2abc（a+b+c）
=2a²b²+2b²c²+2c²a²-2a²bc-2ab²c-2abc²
=a²b²-2a²bc+a²c²+b²c²-2ab²c+a²b²+b²c²-2abc²+a²c²
=a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²>=0
∴2a²b²+2b²c²+2c²a²>=2abc（a+b+c）
即a²b²+b²c²+c²a²>=abc（a+b+c）

Answer 2

a²b²+b²c²+c²a²＞abc（a+b+c）
两边同乘2并移项得
2a²b²+2b²c²+2c²a²-2a²bc-2ab²c-2abc²=b²(a-c)²+a²(b-c)²+c²(b-a)²≥0
a=b=c时为0
其他时候大于0，即证明原式。

Answer 3

abc = 1
a+b+c=2
a^2 + b^2 + c^2 =3
1=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)
=2(ab+bc+ac)
所以
ab+bc+ac=1/2
abc = 1
a+b+c=2

[1/(ab+c-1)]+[1/(bc+a-1)]+[1/(ca+b-1)]

a+b+c=2
c-1=1-a-b
ab+c-1=ab+1-a-b=(a-1)(b-1)

[1/(ab+c-1)]+[1/(bc+a-1)]+[1/(ca+b-1)]
=1/[(a-1)(b-1)]+1/[(b-1)(c-1)]+1/[(c-1)(a-1)]
=[(a-1)+(b-1)+(c-1)]/[(a-1)(b-1)(c-1)]
=[a+b+c-3]/[abc-(ab+bc+ac)+(a+b+c)-1]
=(-1)/[1-1/2+2-1]
=(-1)/(3/2)
=-2/3