Question

物理问题求解

在密度为ρ1的液体上方有一用线悬挂的长为l,密度为ρ2的均匀直棒（ρ2>ρ1），棒的下端刚好与液面接触。若剪短挂线，棒在重力和浮力作用下下沉，求绑下落过程中的最大速度。答案为Vm=（ρ2*l*g/ρ1）^(1/2).求详细过程

Answer 1

设棒横截面积S。设棒进入水中h长度时，所受浮力：p1gSh。棒的重力p2gSl。棒进入水中，由于浮力渐渐增大，因而重力与浮力的合力逐渐减小，棒做加速度减小的变加速运动。一直到重力与浮力相等时，速度达到最大。p2gSl=p1gSh，h=p2*l/p1
以h为横坐标，浮力为纵坐标作图的话，是一条直线，到h高度进入水中，浮力所做功就是直线下面积：0.5*h*p1gSh=0.5*p1*g*Sh^2
重力做功：mgh=p2gSl*h
根据动能定理：mgh-0.5*p1*g*(Sh)^2=0.5mv^2
求得v=（ρ2*l*g/ρ1）^(1/2)

追问

可问题是ρ2>ρ1,所以不能达到重力与浮力相等的情况啊！

追答

这个题应该是ρ1>ρ2。你题目恐怕搞错了。因为ρ2>ρ1的话，重力始终大于浮力，棒始终处于加速状态，达不到最大速度

Answer 2

你的题目大概抄错了，应该是ρ2<ρ1。棒子的密度得比液体小，否则即使全部浸入液体，棒子的合力仍然向下，始终是加速运动，就不存在最大速度一说了。

分析运动过程：棒子下落初始为变加速运动，随着浮力逐渐加大、加速度逐渐减小；当浮力等于重力的时候，棒子获得最大速度；之后浮力将开始超过重力，运动过程变为变减速运动。
速度最大时重力与浮力相等，设此时棒子伸入液面x，并假设棒子截面积s（均匀直棒），于是有mg = ρ2Slg = ρ1Sxg，因此x = (ρ2/ρ1)l。下面利用能量守恒分析：此时棒子的动能等于重力势能做功减去浮力做功。
重力势能做功就是重力作用了距离x的做功，m*g*x = (ρ2/ρ1)mgl。
浮力做功是变化的，但是我们可以注意到浮力的大小与运动距离成正比，因此以运动距离为参照时这是个匀加速变化过程，因此浮力做功为(1/2)*m*g*x = mg(ρ2/ρ1)l/2，
因此ρ2mgl/ρ1 - ρ2mgl/2ρ1 = (1/2)mVm^2
解得Vm = √(ρ2gl/ρ1)。得证。