Question

设函数y=f(x)对任意非零实数x1,x2满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2）

（1）证明f(1)=f(-1)=0
（2）证明f(x)是偶函数
（3）已知f(x)为（0，+无穷）上的增函数，且满足f(x)+f(x-1\2)≤0，求x

Answer 1

（1）f(1*1)=f(1)+f(1) 则 f(1)=0
f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=0 则 f(-1)=0
所以 f(1)=f(-1)=0
（2）f(-1*x)=f(x)+f(-1) 即 f(-x)=f(x)
所以 f(x)是偶函数
（3）f[x(x-1/2)] ≤ 0
因为 f(x)为（0，+无穷）上的增函数
当x(x-1/2)>0时，f[x(x-1/2)] ≤ f(1)
所以 0<x(x-1/2)≤1
解得 (1-根号17)/4≤x<0 or 1/2<x≤(1+根号17)/4
又因为f(x)是偶函数，所以在（-无穷，0）为减函数
当x(x-1/2)<0时，f[x(x-1/2)] ≤ f(-1)
所以-1≤ x(x-1/2)<0
解得 0<x<1/2
综上所述，(1-根号17)/4≤x<0 or 0<x<1/2 or 1/2<x≤(1+根号17)/4