Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．

Answer 1

（1）
∵ ∠ADE=∠CB′E=90° ，∠AED=∠CEB′ ，AD=BC=CB′ ，
∴ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED 。
（2）
∵ AB=8，DE=3，
∴ CE=8-3=5 ，
∵ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED
∴ AE=CE=5 ，
∵ Rt△AED 中 ，AE=5 ，DE=3 ，
∴ AD=4 ；
延长HP交AB于M ，
∵ 矩形ABCD ，
∴ PM⊥AB ，MH=AD=4 ，
∵ ∠AGP=∠AMP=90° ，∠PAG=∠PAM ，AP=AP ，
∴ Rt△AGP ≌ Rt△AMP ，
∴PG=PM ．
∴PG+PH=PM+PH=MH=AD=4 。

Answer 2

解：（1）△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；

（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8-3=5．
在△ADE中，AD=4，
延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．

Answer 3

（1）∵ ∠ADE=∠CB′E=90° ，∠AED=∠CEB′ ，AD=BC=CB′ ，
∴ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED 。
（2）
∵ AB=8，DE=3，
∴ CE=8-3=5 ，
∵ Rt△CEB′ ≌ Rt△AED
∴ AE=CE=5 ，
∵ Rt△AED 中 ，AE=5 ，DE=3 ，
∴ AD=4 ；
延长HP交AB于M ，
∵ 矩形ABCD ，
∴ PM⊥AB ，MH=AD=4 ，
∵ ∠AGP=∠AMP=90° ，∠PAG=∠PAM ，AP=AP ，
∴ Rt△AGP ≌ Rt△AMP ，
∴PG=PM ．
∴PG+PH=PM+PH=MH=AD=4 。

Answer 4

解：延长HP交AB于M，
由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8-3=5．
在△ADE中，AD=4，
∵延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．

Answer 5

(1)、△AED≌△CEB'
证明：∵△ABC翻折得△AB'C
∴B'C=BC=AD ∠B'=∠B=∠D=90°
在△AED和△CEB'中
∵∠D=∠B'
∠AED=∠CEB'
AD=B'C
∴△AED≌△CEB' (AAS)
∴AE=CE
(2)、连接PE
S△AEC=S△AEP+S△CEP
∴1/2AE﹡B'C=1/2AE﹡PG+1/2CE﹡PH
AE﹡B'C=AE﹡PG+CE﹡PH
B'C=PG+PH
∴PG+PH=BC=32÷8=4