Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。
（1）如图2，若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.
①求证：DF=EF
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。
(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合）PE⊥PB且PE交直线CD于点E，完成图3并判断（1） 中的结论①②是否成立？若不成立，写出相应结论。
用正方形的对称性

Answer 1

⑴  如图，作PH⊥BC   ⊿PBH≌⊿PEF﹙ASA﹚  ∴PE＝PB＝PD   ∴DF＝EF﹙三合一﹚

CE＝CF-EF＝CF-DF＝PC/√2-PA/√2,,即PC-PA＝√2CE

⑵    作PH⊥BC   ⊿PBH≌⊿PEF﹙ASA﹚  ∴PE＝PB＝PD   ∴DF＝EF﹙三合一﹚

CE＝CF+EF＝CF+DF＝PC/√2+PA/√2,,即PC+PA＝√2CE   [  图形留给楼主啦！]

Answer 2

解：（1）延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
易得出BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=2PG，PC=2CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=2EF，
∴PC=2CF=2（CE+EF）=2CE+2EF=2CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC=2CE+PA；

（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=2CE．