Question

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B 两点（A点在B点左侧），直线l与抛物 线交于A、C两点，其中C点的横坐...

如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B 两点（A点在B点左侧），直线l与抛物 线交于A、C两点，其中C点的横坐标为 2 （1）求A、B两点的坐标及直线AC的函 数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点 作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段 PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是 否存在点F，使A、C、F、G这样的四个 点为顶点的四边形是平行四边形？如果 存在，求出所有满足条件的F点坐标； 如果不存在，请说明理由

Answer 1

解：(1)  y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)

∴ A(-1，0)，B(3，0)

把x=2代入y=(x+1)(x-3)中，得y=-3，∴C(2，-3)

设直线AC的函 数表达式为y=kx+b，∴-k+b=0，2k+b=-3，解得k=-1，b=-1

∴AC的函 数表达式为y=-x-1

由题意设P(x，-x-1)，E (x，x2-2x-3)，∴PE=-(x-1)- (x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-0.5)2+2.25

∴当x=0.5时，线段 PE长度的最大值为2.25

（3）由（2）知，C点到x轴的距离为3，分别过(0，3) ，(0，-3)作y轴的垂线与抛物线交于点G（如图），

①把y=3代入y= x2-2x-3中，得x=1±√7，∴G(1+√7，3) 或G(1-√7，3)

∵GF∥AC，设直线GF 的函 数表达式为y=-x+m，把G点坐标代入，得m=4±√7，

∴F (4+√7，0) 或F (4-√7，0)

②把y=-3代入y= x2-2x-3中，得x=0或x=2，∴G(0，-3) 

∵GC∥AF，GC=AF，且∴F (2，0)

Answer 2

解：(1) y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)
∴ A(-1，0)，B(3，0)
把x=2代入y=(x+1)(x-3)中，得y=-3，∴C(2，-3)
设直线AC的函 数表达式为y=kx+b，∴-k+b=0，2k+b=-3，解得k=-1，b=-1
∴AC的函 数表达式为y=-x-1
由题意设P(x，-x-1)，E (x，x2-2x-3)，∴PE=-(x-1)- (x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-0.5)2+2.25
∴当x=0.5时，线段 PE长度的最大值为2.25
（3）由（2）知，C点到x轴的距离为3，分别过(0，3) ，(0，-3)作y轴的垂线与抛物线交于点G（如图），
①把y=3代入y= x2-2x-3中，得x=1±√7，∴G(1+√7，3) 或G(1-√7，3)
∵GF∥AC，设直线GF 的函 数表达式为y=-x+m，把G点坐标代入，得m=4±√7，
∴F (4+√7，0) 或F (4-√7，0)
②把y=-3代入y= x2-2x-3中，得x=0或x=2，∴G(0，-3)
∵GC∥AF，GC=AF，且∴F (1，0)，或F（-3,0）

Answer 3

1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3
得y=-3，
∴C（2，-3）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3）
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴当 x=1/2时，PE的最大值= 9/4．
（3）由（2）知，C点到x轴的距离为3，分别过(0，3) ，(0，-3)作y轴的垂线与抛物线交于点G（如图），
①把y=3代入y= x2-2x-3中，得x=1±√7，∴G(1+√7，3) 或G(1-√7，3)
∵GF∥AC，设直线GF 的函 数表达式为y=-x+m，把G点坐标代入，得m=4±√7，
∴F (4+√7，0) 或F (4-√7，0)
②把y=-3代入y= x2-2x-3中，得x=0或x=2，∴G(0，-3)
∵GC∥AF，GC=AF，且∴F (2，0)

Answer 4

A点坐标（－1，0） B坐标（3，0）

C 坐标（2，－3）

AC 方程
y/(x+1)=(0+3)/(-1-2)
y = -x-1

设P点为（x0,y0)
y0 = -x0 -1 ( -1=<x0<=2 )

PE两点的横坐标相同
设E点坐标为（y1,x0)

y1 = x0^2 - 2x0 -3
PE 的长度
L = y0 -y1
= -x0 -1 -(x0^2 - 2x0 -3)
= -x0^2+x0 +3
= -(x0-1/2)^2 +13/4
最大值为13/4

A点坐标（－1，0）
C 坐标（2，－3）
F 坐标（xf , 0)
G 坐标（xg , yg)

假设存在平行四边形
xf -1 =2 + xg
yg - 3 = 0 +0;
yg = 3
代入方程y=x^2-2x-3
求出 xg1= 1 +根号（7）,xg2 = 1- 根号（7）
符合条件，代入
xf1 = 4 + 根号（7)
xf2 = 4 - 根号（7

Answer 5

令y=0求出X=3;X=-1A点坐标为(-1,0)，B点坐标为(3,0),把X=2带入抛物线Y=x^2-2x-3求出y=-3既c点坐标为（2，-3），根据两点确定一条直线公式既（y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)将A,C带入就求出来y=-x-1。

Answer 6

图呢