Question

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，104长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？

Answer 1

（1）设0=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∵抛物线y=-x²+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），
∴A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴抛物线的对称轴是：直线x=1．  

（2）①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，
得

3k+b＝0 b＝3

，解得：k=-1，b=3
∴直线BC的函数关系式为y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1.2）．
当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4，∴D（1，4）．
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE
∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．
∵S=S_△EPF+S_△CPF，
即S=

1

2

PF?BM+

1

2

PF?OM
=

1

2

PF（BM+OM）
=

1

2

PF?OB，
∴S=

1

2

×3（-m²+3m）=-

3

2

m²+

9

2

m（0≤m≤3）
∴当m=-

9 2

2×(? 3 2 )

=

3

2

时
S最大值=

27

8

；

（3）如图，设⊙O与直线AC相切于点E，连O′E，则O′E⊥AC，
∵AO⊥CO，
∴∠O′EC=∠COA=90°
∵∠ACO=∠ECO，
∴△ACO∽△O′CE，
∴

AC

OC

=

OA

OE

，
由（1）得AO=1，CO=3，AC=

10

，
设x秒后⊙0与AC相切，
则OO′=x，CO′=|3-x|，
∴

10

|3?x|

＝

1

10 4

，
解得：x=0.5或5.5，
∴0.5或5.5秒后⊙O与直线AC相切．