Question

已知函数f(x)=(lnx)/x,

(1)求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程；(2)求y=f(x)的最大值；(3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值。
二楼，请将答案分出每小题。谢谢！

Answer 1

解：y'=(1-lnx)/x^2，y'(1/e)=2e^2,故切线方程为：y+e=2e^2(x-1/e)
令y'=0，求得x=e。当x>e时，y'>0，x<e时，y'<0。故y（e）=1/e为最大值。
因为函数F(x)=af(x)只有唯一的极大值点，故比较端点值即可：
F(a)-F(2a)=af(a)-af(2a)=ln(aa)-ln(2a)=ln(a/2)
当a》2时，最小值为F(2a）=ln(2a)；当a《2时，最小值为F(a）=ln(aa)。

Answer 2

一.
f(x)=(lnx)/x
求导
f'(x)=[1-lnx]/x²
f'(1/e)=2e² f(1/e)=-e
所以
切线为
y+e=2e²(x-1/e)
y=2e²x-3e

二.
f'(x)=0得 x=e
函数有极大值为 f(e)=1/e
因为函数只有一个极大值点
所以 极大值即最大值 1/e

三.
F(x)=-af(x)=alnx/x
求导
F'(x)=[a-alnx]/x=a(1-lnx)/x
(1).当 a≥e时
最小值为 f(2a)=(1/2)ln(2a)
(2).当 0<2a≤e 即 0<a≤e/2时
最小值为 f(a)=lna
(3).当 e/2<a<e时
f(a)=lna f(2a)=(1/2)ln2a
①当 a=2时 最小值为 f(2)=f(4)=ln2
②当 2<2<e时 最小值为 f(2a)=(1/2)ln(2a)
③当 e/2<a<2时 最小值为 f(a)=lna

Answer 3

y'=(1-lnx)/x^2 在x=1/e处斜率k=2*e^2可得出切线方程
最大值令y'=0得出x=e所以最大值为1/e
讨论a 2a与e的大小关系求出单调区间即可解出本题
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