Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F恰为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>

0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则双曲线的离心率为？

Answer 1

由题意:右焦点F(p/2,0)，且a^2+b^2=(p/2)^2
又因为两曲线的交点连线过点F，由对称性可知，
两焦点的横坐标x=p/2,由y^2=2px得y^2=2p*p/2=p^2
把x=p/2，y^2=p^2带入双曲线方程得：(p/2)^2/a^2-p^2/b^2=1
又因为a^2+b^2=(p/2)^2，所以：(a^2+b^2)/a^2-4(a^2+b^2)/b^2=1
整理得：b^4-4a2b2-4a^4=0，即；(b^2-2a^2)^2=8a^4
所以，b^2-2a^2=2√2*a^2,从而，b^2=(2+2√2)a^2
c^2=a^2+b^2=(3+2√2)a^2=[(1+√2)a]^2
所以离心率e=c/a=1+√2

Answer 2

抛物线焦点是p/2=c，则：p=2c，则抛物线准线是x=－c，则两曲线交点是(c，2c)，这个点在双曲线上，得：
c²/a²－(4c²)/(b²)=1
(c²/a²)－1=(4c²)/(b²)
b²/a²=4c²/b²
b²=2ac
c²－2ac－a²=0
(c/a)²－2(c/a)－1=0
e=c/a=1＋√2