Question

高中数学排列组合问题,我搞不清,这方面高手进,(学得很好的,一般排列组合高考题不太会错的进)谢谢

（2009•重庆）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（　　）

下面是答案
我是这样做的那个C 和A我都不会打,我打个C5,3就相当于是C五三
我是这样做的
(C6,1C5,1C4,1乘以(C5,1+C4,1+C3,1))除以(C15,4乘以A3,3乘以A2,2)

我看答案上为什么只要除以一个A2,2?
答案上的那个相当于是(C6,1C5,1C4,1乘以(C5,1+C4,1+C3,1))除以(C15,4乘以A2,2)

为什么不要除以A33,这个是为什么?
我觉得除以A3,3,和A2,2是因为他们好像都有顺序的

能具体说明一下吗?
并且!!!!重要的是能不能告诉我一些技巧什么的,能让我避免以后犯这种错误

请耐心回答,给50分加20系统送的

那中随便写几句的敷衍了事的就不要回答了

Answer 1

你的问题在于什么时候排列，什么时候组合没搞清楚。
就从你的答案来说吧，你之所以认为要除以A33，应该是将三种汤团的拿放顺序做了一个排列，也就是你认为“先俩芝麻后一花生再一豆沙”和“先一花生后俩芝麻再一豆沙”是两种不同的拿法，所以你要对三种汤团取样顺序进行排列，但是实际上，题目要求的没有这种排列，只要求组合，先拿后拿是没有差别的。

由此可以看到排列和组合的差别，排列是有顺序的，而组合是无顺序的。

从另外一方面看，一般来说在求古典概率的时候，分子和分母要么都是排列，要么都是组合，也许有的人会说要分情况而定，其实不然，很多题目的解法中分母是排列，分子用到组合，但是要明白，题目的要求已经暗含了排列的要求，比如，“任取一个没有重复数字，且不含数字0的五位数，取得的五位数刚好各位数字从小到大排列的概率为C(9,5)/A(9,5)”，虽然分母是排列，分子是组合，但是要注意到题目的要求是“从小到大排列”这句话，这本身就是一个排列要求，而且是对5个不同的一位数排列的唯一要求，所以说古典概率求法必然是分子和分母同为排列或同为组合。

然后这个A22是怎么来的呢？
你的答案是
[(C6,1)(C5,1)(C4,1)][(C5,1)+C(4,1)+C(3,1)]
=[(C6,1)(C5,1)](C5,1)(C4,1)+(C6,1)[(C5,1)(C4,1)](C4,1)+(C6,1)(C5,1)[(C4,1)(C3,1)]
=[(C6,2)(C5,1)(C4,1)+(C6,1)(C5,2)(C4,1)+(C6,1)(C5,1)(C4,2)]A(2,2)
从这里可以很明显的看出，你的这个A22是由于取同类的汤团时，你看做了有顺序的取，故而做了排列A22，显然是不对的，因此，你的分子[(C6,1)(C5,1)(C4,1)][(C5,1)+C(4,1)+C(3,1)]必须要除以一个排列A22来消除这种排列造成的重复，然后除以总的组合数C(9,4)就得到了标准答案48/91

追问

我很感动,你很耐心写了这么多
我给你加30分加起来有100了

我除以A33不是凭空想出来的,我看到这样一道题
有四个人分两组,每组两个人,有多少种?
我一开始想的是C42C22 后来看答案才知道是C42除以A22
所以我做我问的题目时才会想到除以A33

我在考试时怎么才能弄明白什么时候除以A22,A33之类的

我还是没有想明白为什么这道题:
有四个人分两组,每组两个人,有多少种?
要除以A22

而我问的那道题却不要除以A33

追答

其实关键在于你混淆了被选的群组。
原题目里面你之所以要乘以A33，我说了，你是三个不同的组（芝麻、花生、豆沙）的时候给排序了，但是对于你追问里的问题，这4个人仅仅相当于原题目中的一个组，也就是说，原题是在不同样本组里面分别取个体出来，而追问的问题是在一个样本组里面取。

另外，对于一个样本组里面取个体对半分的情形，你要特别留心两个关键：
1、这个样本组里面的个体是否有异，也就是个体间的差别。
比如4个一样的汤圆取两个出来，有几种方法？显然只有1种，因为个体都是一样的，等价的，取哪俩个都是一样的；再比如4个人（或者说4个不同颜色的汤圆），这里就必须考虑差异性了，就是C42；
2、题目是让你分组还是要让你分组后取出来；
分组和分组后取出是不一样的，因为，分组是一步，分完后取出来又是一步，4个不同的人，分两组就是C42/A22，但是分完后我要取一组出来，在分好的基础上就有两种选择了，因此有C42中选法。因此你的追问里面说分组后要除以A22是对的，因为他只要求分组，比如说ABCD4个人，如果只要求分组显然有（AB|CD）（AC|BD）（AD|BC）三种分法，但是要取出2个人来却有（AB|CD|AC|BD|AD|BD）这6种取法。最典型的例子，父母俩人分俩组，有几种分发？然后选一个人跟你一起有几种选法呢？

追问

大牛啊,相当给力,加个好友行吗

Answer 2

首先分母中肯定含有C15,4没问题吧？
然后我觉得你对答案的方法理解有误，是，可以换成(C6,1C5,1C4,1乘以(C5,1+C4,1+C3,1))除以(C15,4乘以A2,2)
但这样的话你怎么理解？
我认为排列组合最重要的就是对“排列组合”的理解
就想这道题，
它仅仅是让你在15个中取4个然后这4个中必须包含3中汤园
并没有要求汤圆的“顺序”
所以就不用A3,3,和A2,2，你能明白么？

所以按我的经验，最好的方法是安题意把所有的可能写出来

然后算没种可能行
再除以总的可能性............

切记，一定要分清
什么时候排列，什么时候组合..........
这点做到了，题就是到菜.........

追问

我的做法把(C6,1C5,1C4,1乘以(C5,1+C4,1+C3,1))除以(C15,4乘以A3,3乘以A2,2)
中的A33去掉就和答案一样了
我在做题目的时候没有想到用答案上的那种,我就想到汤圆一个一个取,为什么我要么就是A33和A22都没想到,或者就是都想到了?
你说汤圆没有顺序,那应该按我的做法A3,3,和A2,2都不要除才对?
高考只有一次,不可能让我再考,假如说我在考场上只想到我的这种想法,该如何分清这种顺序?

追答

给我个邮箱，我给你分资料

追问

331392521@qq.com

Answer 3

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不除A3,3，是因为你是一勺子舀上来4各的，但你四个里面难免有重复的：你先算第一次老的是芝麻，第二次花生，三次豆沙，所以(C6,1C5,1C4,1），然后随便唠了一个如花生，但下一次：第一次老的是花生，第二次芝麻，三次豆沙，然后随便唠了一个如花生，遇上一次的重复了，但你却算了2次，所以除以A2,2。
从中任意舀取4个汤圆，没说顺序呀，所以你也不用强加给他先(C6,1C5,1C4,1），后(C5,1+C4,1+C3,1))的顺序，所以要处以A2,2。

Answer 4

你是不是陷入误区了？（A、B、C分别代表3种汤圆)保证3种汤圆都有的情况下捞4个起来就有一下可能 AABC ABAC ABCA BAAC BACA BCAA （另两种省略）。你除A3,3应该就是因为这6种不同的情况。题目要求很明显，求每种汤圆都至少取到1个的概率，并没指定第一个是什么第二个是什么...上述6种情况都可以切符合要求，所以不用除A3,3
（你这算是题路不清。认真审题，确定题目要求才能避免犯类似错误）