Question

高数题，用斯托克斯公式计算曲线积分

线积分的积分符号打不出来ydx+zdx+xdz，线为曲线X+y+z=0，X2+y2+z2=a2，那个2是平方，其方向是从x轴正向看去为逆时针的。。。。谢谢了~~~

Answer 1

按照原题是∮ydx+zdy+xdz来做：
把斯托克斯公式中的各个对象对号入座：其中
①P=y，Q=z，R=x，
②积分曲面∑就取X+y+z=0与X2+y2+z2=a2的交线所围的平面，
③注意Q对z的偏导数=1，R对x的偏导数=1，P对y的偏导数=1，其他3个偏导数都=0
则套用斯托克斯公式得到原曲线积分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右边对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS
其中cosα，cosβ，cosγ就是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦，cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）dS=√3∫∫【∑上】dS=√3*（∑的面积）
∑的面积=∏a2，故√3*∏a2为所求原曲线积分的值。

追问

为什么cosα=cosβ=cosγ=1/√3
？？

追答

cosα，cosβ，cosγ是平面X+y+z=0的指向右上方向的方向余弦，
就是平面X+y+z=0的指向右上方向的【法向量】的方向余弦，
平面X+y+z=0的2个法向量为±{1，1，1}，
指向右上方向的法向量为{1，1，1}，
把向量{1，1，1}单位化，就是{cosα，cos，cosγ}：
向量{1，1，1}的模=√3，
向量{1，1，1}的单位向量=（1/√3）*{1，1，1}，
也即cosα=cosβ=cosγ=1/√3。