根据格林公式，平面闭区域D的面积S＝1/2∫(L) xdy-ydx，这里L是D的边界曲线，方向是正方向。
旋轮线与x轴的一个交点是原点，记来一个交点是A，记旋轮线上从A到原点的一段是L，则面积S＝1/2∫(OA+L) xdy-ydx＝1/2∫(OA) xdy-ydx＋1/2∫(L) xdy-ydx＝0＋1/2∫(2π到0) [a^2(t-sint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝1/2*a^2∫(0到2π) [tsint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝3πa^2
曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
扩展资料：
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。
参考资料来源：百度百科——曲线积分
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3a²π。
A=∫ （0到2π）y(t)dx(t)
=∫ （0到2π）x'乘以y d(t) 而x'乘以y=a(1-cost)乘以a(1-cost)
所以
A=∫ （0到2π）{a²（1-2cost+cos²t）}dt
=a²乘以∫ （0到2π）（3/2-2cost+1/2cos2t）dt=3a²π
扩展资料
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。
=∫ （0到2π）x'乘以y d(t) 而x'乘以y=a(1-cost)乘以a(1-cost)
所以
A=∫ （0到2π）{a²（1-2cost+cos²t）}dt
=a²乘以∫ （0到2π）（3/2-2cost+1/2cos2t）dt=3a²π
这是我们高数书上的完整解答。字打得比较搓，希望别见怪。
旋轮线与x轴的一个交点是原点，记来一个交点是A，记旋轮线上从A到原点的一段是L，则面积S＝1/2∫(OA+L) xdy-ydx＝1/2∫(OA) xdy-ydx＋1/2∫(L) xdy-ydx＝0＋1/2∫(2π到0) [a^2(t-sint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝1/2*a^2∫(0到2π) [tsint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝3πa^2
