Question

用反证法证明根3的时的一个问题。

通常，用反证法是这样证明的（比如证明根号3为无理数）：
反证：假设根号3是有理数，则存在两个互质整数m和n使得根号3=m/n.两边平方并整理得m^2=3n^2, 于是m是3的倍数，令m=3q, 代入上式整理得：n^2=3q^2, 故n也是3的倍数，这与m,n互质矛盾。故根号3是无理数。
那么为什么m的平方是3的倍数，m就一定要是3的倍数？如果用反证法这样来证明根号111是无理数：
假设根号111是有理数，则存在两个互质整数m和n使得根号111=m/n.两边平方并整理得m^2=111n^2, 于是m是111的倍数吗？？？……
这是为什么呢？

Answer 1

这是因为任何一个有理数都可以化成分数，且都可以表示成2个互质的整数比值
如果根3是有理数
根3=a/b a是整数 b也是整数且a/b是不可约的（例如1/7就不能再约，而2/4就能约，但是我们说ab互质那么2/4必须最简=1/2）
3=a^2/b^2 a^2和b^2是整数 即3b^2=a^2 当然a必须是3的倍数

至于你说的m^2=111n^2 可以因为111=3*37属于2个质数
我告诉你什么数不可以m^2=4n^2 如果是4就不行这时候m^2=（2n）^2
m=2n m是2的倍数
还有m^2=12n^2=4*3n^2=3（2n）^2
m是3的倍数还是2n的倍数 ，此时m为6的倍数

追问

证明那些当倍数为偶数时我可不可以把所有的数都看为有2为公约数从而使得结论矛盾呢？如果是奇数呢？

追答

可以但是像8和16你会发现不只是2的倍数
不管什么数，最后都是因为你设的没有公约数而算着算着发现有公约数而矛盾，不是说是偶数就一定和2矛盾
这是竞赛最基础东西

追问

那我证明题的时候我不用说明好多只要证明有2公约数与质数矛盾就好了对吧？那奇数怎么办？是不是可以这样认为：是不是当A方等于mB方的时候，（必须在m是质数时）那么任何的题中：当m偶数时我用公约数2来证明与质数矛盾，如果是奇数我直接用这个m说是公约数来与质数相矛盾，这样做在任何情况下都对吗？求解明天考试呢，就这点不太明白。还有m必须为质数吗？4个小问题一一回答谢谢了，你也就可以休息了，我等会睡去了，真是麻烦你了

追答

证明某个数是无理数你说的是对的，其他题不是公约数2就好使得，可能公约数8，16.....好多
是奇数时，一般找质因子，例如15，可以是用3，也可以用5
根15=m/n m^2=15n^2 最好分开，利用3或5都好，不要用15
m n互质不是说m是质数，只是说m n 除了1没有公约数
其实连续2个自然数就互质

追问

前提是证明一个无理数了，，，你意思是用奇数时用质因子来否定是吧？那么你说的
还有m^2=12n^2=4*3n^2=3（2n）^2
m是3的倍数还是2n的倍数 ，此时m为6的倍数 我不明白为什么是6呢？遇到题怎么判断呢，2个小问题哦。

追答

m既是3的倍数又是2n的倍数
3*2n=6n m当然是6的倍数
例如n>=1的整数你要证明 n（n+1）（n+2）整除6
你就必须分2步
1.整除2
2.整除3
所以整除6

Answer 2

m² 是质数3的倍数

我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。

∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。

追问

如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。
为什么？明天考试今天突然不太会这个题了，或者有没有什么定理说明一下谢谢

追答

两个数的积是3的倍数，说明两个数中至少有一个包含因数3，这样他们的积才会是3的倍数
如2*5=10，没有因数3，所以积也不是3的倍数，3*7=21，积是3的倍数，两个数中就有一个包含因数3

追问

那证明这些题的时候都改怎么总结一下，是不是当A方等于mB方的时候，（必须在m是质数时）那么任何的题中：A方中至少有一个数是m的倍数是吧！

追答

是的

追问

还有一点为什么是至少 有一个数是m的倍数呢，应该是所有的数都是m的倍数吧，因为那个A方中A乘以A（A相同啊）3乘以7，数不相同饿，怎么解释？不好意思 啊 突然小钻牛角尖不过没办法，明天考试最好弄彻底，麻烦了。

追答

至少有一个，如果两数相同那肯定有两个啊

Answer 3

那么为什么m的平方是3的倍数，m就一定要是3的倍数？（是因为3是个质数）
而后边的例子不准确是因为111=3*37是个合数，所以不能下“m是111的倍数”的结论。

追问

那证明这些题的时候都改怎么总结一下，是不是当A方等于mB方的时候，（必须在m是质数时）那么任何的题中：A方中至少有一个数是m的倍数是吧！