Question

已知函数f(x)=2x次方+x²，x∈【4,5】对于f(x)值域内的所有实数m,t²+mt+4>2m+4

已知函数f(x)=2x次方+x²，x∈【4,5】对于f(x)值域内的所有实数m,t²+mt+4>2m+4恒成立，则t的取值集合

Answer 1

y=2x^2在区间【4,5】上是增函数
y=x^2在区间【4,5】上是增函数
所以 f(x)=2x次方+x²，在区间【4,5】上是增函数
f(4)=48
f(5)=75
48<=m<=75
t²+mt+4>2m+4
t^2+mt>=2m
m(2-t)<=t^2
1. t>=2 恒成立
2. t<2 m<=t^2/(2-t)
48<=t^2/(2-t)<=75
(1) 48<=t^2/(2-t)
t^2+48t-96>=0
t>=-24+4√42 t<=-24-4√42(舍)
（2）t^2/(2-t)<=75
t^2+75t-150<=0
(-75-5√249)/2<=t<=(-75+5√249)/2
所以 -24+4√42<=t<=(-75+5√249)/2

t的取值集合
t>=2或 -24+4√42<=t<=(-75+5√249)/2

追问

答案是t＜-5，t＞2。 谢谢你

Answer 2

原命题是：f(x)=2^x+x^2,因为函数2^x与x^2均在定义域上是增函数，所以f(x)在定义域上是增函数，
所以m∈[f(4) ,f(5)]=[32,57] t^2+mt+4>2m+4可化为：(t-2)m+t^2>0在m∈[32,57]上恒成立
记g(m)=(t-2)m+t^2表示m∈[32,57]上的线段。
根据题意：g(32)>0且g(57)>0
由g(32)>0得t^2+32t-2*32>0 所以 t>-8+16√5,或t<-8-16√5 (1)
由g(57)>0得t^2+57t-2*57>0 所以 t>-8+16√5,或t<-8-16√5
t>(-57+√3705)/2 或t<(-57-√3705)/2 (2)
(1)(2)求交集得t>-8+16√5,或t<(-57-√3705)/2