Question

已知函数f(X)=根号下X^2

已知函数f(X)=根号下X^2-mx+m-3/4 定义域为一切实数，求：1.满足条件m的集合M；2.当m∈ M时，求f(x)的最小值g(m)；3.当m在集合M中变化时，求g(m)的最大值；（写下过程）

Answer 1

（1）解：令x² - mx + m - 3/4 ≥0
即，(x - m/2)² — (1/4)(m² - 4m + 3) ≥0 ……………………………………（*）
由题意 ， 函数f(X)=根号下X^2-mx+m-3/4 定义域为一切实数
换言之，对于任意x∈R , （*）式恒成立。
则有，- (1/4)(m² - 4m + 3) ≥ 0
解得，1≤m≤3， 即满足条件的集合M = [1，3]
∴当m∈[1，3]时，函数f(X) = 根号下X^2-mx+m-3/4 定义域为一切实数。

（2）解：由（*）式可知
当m∈ M时，f(x) ≥√【— (1/4)(m² - 4m + 3) 】 = (1/2)* √【- m² + 4m - 3】
即， f(x)的最小值g(m) = (1/2)* √【- m² + 4m - 3】

（3）解：令h(m) = - m² + 4m - 3 = - (m-2)² +1
则，g(m) = (1/2)* √【h(m)】
∴若m在[1，3]内变化，则根据抛物线的性质，
当且仅当m = 2 时， h(m) = - (m-2)² +1 取最大值 1 ，
同时，g(m)取最大值 1/2