Question

急！急！急！急！急！急！请教数学高手一道立体几何的题目，答得好的，采纳时悬赏分再加加加，谢谢！！！

接上：下面是该题及老师对该题的解释，但是我的数学基础不好，还是不明白，看到第一步“易得DE=EF”就不明白了，接下去的相关数据也弄不清楚是怎样得来的，感觉证明该题的思路很混乱。麻烦数学高手帮忙详细解说下面这道立体几何的题目（老师的这种解法），谢谢！！！

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点。
问：在DE上是否存在一点P，使得CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由。
老师的解释：在DE上存在一点P，使得CP⊥平面DEF，易得DE=EF，取DE中点H，连接FH，再取BC的中点G，连接AG，HG
因为HG∥BD∥FA，HG=2，所以HG∥AF，且HG=AF；故FH∥AG，且FH=AG，
因为AG⊥平面BDEC，所以FH⊥平面BDEC，所以FH⊥CP，所以要使CP⊥平面DEF，只需CP⊥DE即可。
连接CD，易得DE=2√2，CD=√5，所以cos∠DEC=√2（DE²+EC²-DC²）/（2*DE*EC）=（8+9-5）/（2*2√2*3），所以sin∠DEC=√2/2，
所以S△CDE=1/2*CD*DE*sin∠DEC=3，S△CDE=1/2*DE*CP=3，
解得CP=（3√2）/2。由勾股定理得DP=√2/2
不好意思，上面的“DE=EF”应该是“DF=EF”，
切莫灌水，否则一律检举，谢谢！！！

Answer 1

首先，取DE中点H，BC中点G，连结AG、FH、HG，

∵△ABC是正△，FA⊥平面ABC，

∴实体是由正三棱柱斜切所得到，

∴BD//FA//EC，

∴BD⊥BC，EC⊥BC，

∴梯形BDEC是直角梯形，

∵H、G分别是DE、BC中点，

∴HG是梯形中位线，

∴HG=（BD+EC）/2=（1+3）/2=2，

∴HG//BD//EC//FA，

且HG=FA=2，

∴四边形AFHF是平行四边形，（实际FA⊥AG，也是矩形）

∴FH//AG，

∵AG是正△ABC的中线，

∴AG⊥BC，

∵平面DBCE⊥平面ABC，

∴AG⊥平面BDEC，（二平面垂直，若一平面的直线垂直交线，则该直线必垂直另一平面），

∴FH⊥平面DBCE，

∵CR∈平面DBCE，

∴FH⊥CP，

∵FH∩DE=H，

∴只要作CP⊥DE，垂足P，P点就是所要找的CP⊥平面DEF的点，

以下就纯粹转变成平面几何问题，

我不用三角函数来解，

在平面DBCE中，

作DM⊥EC，垂足M，连结CD，

根据勾股定理，CD=√（BD^2+BC^2）=√（1+4）=√5，

四边形DBCM是矩形，

MC=BD=1，

ME=CE-MC=3-1=2，

根据勾股定理，DE=√（DM^2+EM^2）=√（2^2+2^2）=2√2，

在△DCE中，根据勾股定理，

PC^2=CD^2-DP^2=CE^2-PE^2,

设DP=x,

(√5)^2-x^2=3^2-(2√2-x)^2,

5-x^2=9-8+4√2x-x^2,

4√2x=4,

x=√2/2，

∴DP=√2/2。

追问

O(∩_∩)O谢谢，您的解答太棒了，O(∩_∩)O哈！上题中的“DE=EF”，应该是“DF=EF”，不好意思，打错了，...请问DF=EF是怎样证得的，您可以解释一下我们老师的解法吗， 我又忘了...
不胜受恩感激...

追答

很简单，在平面ABDF上作DQ⊥AF，四边形ABDQ是矩形，AQ=BD=1，AF=2，AF=AF-BD=1，
根据勾股定理，DF=√（DQ^2+FQ^2)=√（1+4）=√5，在平面ACEF上，作FN⊥CE，垂足N，同理FN=AC=2，EN=CE-AF=3-2=1，根据勾股定理，EF=√（1+4）=√5，∴EF=DF。

Answer 2

DE不等于EF，应该是DF=EF

追问

O(∩_∩)O谢谢，确实是DF=EF ，不好意思，打字打得太快，弄错了

Answer 3

要得到DE=EF，只要过点D作AE的垂线，构造直角三角形，过点E作CF的垂线，构造直角三角形即可证明，下面的证明应该比较简单。该图实际上是由正三棱柱切割而成。

追问

O(∩_∩)O谢谢，确实是DF=EF ，不好意思，打字打得太快，弄错了

Answer 4

稍等

追问

请不要灌水，否则检举..

追答

你妹 你个2蛋 题都不会做 上课还不认真听 不会做活该

追问

谢谢，不过我上课很很认真...请您文明用语

Answer 5

俺不会

追问

请不要灌水，否则检举..