Question

(y^3)y''-1=0 , 求微分方程的通解？

答案是：c1(y^2)-1=(c1x+c2)^2

Answer 1

∵（y^3）y″－1＝0，　∴y″＝1/y^3，　∴2y′y″dx＝2（1/y^3）dy，
两边积分，得：（y′）^2＝2∫（1/y^3）dy＝2×［1/（－3＋1）］y^（－2）＋C1＝－1/y^2＋C1，
∴y′＝√（C1－1/y^2），　∴［1/√（C1－1/y^2）］dy＝dx，
两边再积分，得：∫［1/√（C1－1/y^2）］dy＝∫dx＝x＋C2，
∴∫［y^2/√（C1y^2－1）］dy＝x＋C2，
∴∫［（C1y^2－1＋1）/√（C1y^2－1）］dy＝C1x＋C1C2，
∴∫√（C1y^2－1）dy＋∫［1/√（C1y^2－1）］dy＝C1x＋C1C2，
∴√C1∫√（y^2－1/√C1）dy＋（1/√C1）∫［1/√（y^2－1/√C1）］dy＝C1x＋C1C2，
∴（1/2）√C1y√（y^2－1/C1）－（1/2）√C1（1/C1）ln｜y＋√（y^2－1/C1）｜
　（1/√C1）ln｜y＋√（y^2－1/C1）｜
　＝C1x＋C1C2，
∴（1/2）y√（C1y^2－1）＋（1/C1－1/2）ln｜y＋√（y^2－1/C1）｜＝C1x＋C1C2。
∴原微分方程的通解是：
（1/2）y√（C1y^2－1）＋（1/C1－1/2）ln｜y＋√（y^2－1/C1）｜＝C1x＋C1C2。

Answer 2

看下图片，从网站上抄的

Answer 3

y''=dy'/dx=(dy'/dy)(dy/dx)=y'dy'/dy
然后你就会了，我算的结果是c1(y^2)-1=(±c1x+c2)^2