Question

如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（

如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1)抛物线与y轴交于点C（0，-3），故c=-3,又抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），故-b/2=-1
所以b=2,所以y=x²+2x-3.
2)由x²+2x-3=0.得x1=1,x2=-3,所以A（-3,0）。AC=3根号2，CD=根号2，AD=5根号2，于是
AC²+CD²=AD²，所以△ACD为直角三角形
3）由题意，AB为四边形的一条对角线，（-1,0）为AB的中点，要使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形，因顶点为D（-1，-4），则E（-1,4），即存在点E（-1,4）

Answer 2

将D（-1，-4），C（0，-3）代入y=x^2+bx+c，得b=2,c=-3.故y=x^2+2x-3
y=x^2+2x-3=(x+3)x(x-1),故A(-3,0),B(1,0)
AC^2=18，CD^2=2，AD^2=20故AC^2+CD^2=AD^2，所以△ACD为直角三角形

Answer 3

楼上真干脆