Question

观察下列各式，你有什么发现；3×3=4+5，5×5=12+13，7×7=24+25，9×9=40+41

3×3=4+5，5×5=12+13，7×7=24+25，9×9=40+41
(1) 填空；13×13=——— + ————
（2）请写出你发现的规律：
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

Answer 1

1)13×13=84+ 85
2)n²=(n²-1)/2+(n²+1)/2 n≥3，且n为奇数
3)利用列举法证明：
3²=5²-4²=(5+4)(5-4)=5+4
5^2=13^2-12^2=(13+12)(13-12)=13+12
7^2=25^2-24^2=（25+24）(25-24)=25+24
9^2=41^2-40^2=（41+40）（41-40）=41+40
......
所以n²=(n²-1)/2+(n²+1)/2

Answer 2

84+85
可以发现，此三数构成勾股定理，如3^2+4^2=5^2；5^2+12^2=13^2；7^2+24^2=25^2；
9^2+40^2=41^2；13*13=169，设满足勾股定理的令一数为x,则令一个数为169-x,有
x^2=(169-x)^2+13^2，解得x=85;169-85=84

Answer 3

13平方=n+1的平方-n的平方=（1）（n+n+1）
N=（13平方-1）除以2