Question

观察下列各式，你有什么发现？3 2 =4+5，5 2 =12+13，7 2 =24+25 9 2 =40+41…这到底是巧合，还是有什

观察下列各式，你有什么发现？3 2 =4+5，5 2 =12+13，7 2 =24+25 9 2 =40+41…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：13 2 =______+______；（2）请写出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

Answer 1

（1）13 2 =b+c，这是第6个式子， 故13 2 = 1 3 2 -1 2 + 1 3 2 +1 2 =84+85； （2）规律为：（2n+1） 2 =（ (2n+1 ) 2 -1 2 ）+（ (2n+1 ) 2 +1 2 ）． （3）（ (2n+1 ) 2 +1 2 ） 2 -（ (2n+1 ) 2 -1 2 ） 2 =[（ (2n+1 ) 2 -1 2 ）+（ (2n+1 ) 2 +1 2 ）][（ (2n+1 ) 2 -1 2 ）-（ (2n+1 ) 2 +1 2 ）] =（2n+1） 2 ． 即三个数是勾股数．