Question

梯形ABCD中，AD∥BC，AC垂直BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求 （1）对角线AC的 长。 （2） 梯形的面积 。

解：
（1）设AC、BD相交于点O
∵AC⊥BD
∴∠AOD=∠COB=90° （对顶角相等）
而AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO （内错角相等）
∴△AOD∽△COB
∴OD：OB =OA：OC = AD：CB =2：8=1：4
即，OD：BD =OA：AC = 1：5
而，BD = 6
∴OD = (1/5)*6 =6/5
∴OA = √【2² - (6/5)²】 = 8/5
∴AC = 5*(8/5) = 8
（2）S梯形ABCD = S△ABD+S△CBD
= (1/2)*AO*BD + (1/2)*CO*BD
= (1/2)*BD * ( AO + CO )
= (1/2)*AC*BD
= (1/2)*8*6
= 24

Answer 1

过D作AC的平行线DE交BC延长线于E
则四边形ACED是平行四边形，所以AC=DE，AD=CE=2
又因为AC平行DE，AC垂直BD
所以BD垂直DE
又因为BE=10，所以由勾股定理，可知DE=10
所以AC=10
过D作DF垂直BC于F
则在直角三角形BDE中，有BD*DE=DF*BE
解得DF=24/5
梯形面积S=1/2(AB
BC)*DF=24

Answer 2

解：（1）设AC、BD相交于点O
∵AC⊥BD
∴∠AOD=∠COB=90° （对顶角相等）
而AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO （内错角相等）
∴△AOD∽△COB
∴OD：OB =OA：OC = AD：CB =2：8=1：4
即，OD：BD =OA：AC = 1：5
而，BD = 6
∴OD = (1/5)*6 =6/5
∴OA = √【2² - (6/5)²】 = 8/5
∴AC = 5*(8/5) = 8

（2）S梯形ABCD = S△ABD+S△CBD
= (1/2)*AO*BD + (1/2)*CO*BD
= (1/2)*BD * ( AO + CO )
= (1/2)*AC*BD
= (1/2)*8*6
= 24

Answer 3

解：过D做DM∥AC交BC延长线与M,则四边形ACMD是平行四边形
所以MC=AD=2,DM=AC,所以MB=BC+CM=10
因为AC⊥BD,所以DM⊥BD
所以DM=√BM²-BD²=√100-36=8
所以AC=DM=8
2)梯形的面积=三角形BDM的面积=1/2*BD*DM=1/2*6*8=24