Question

已知sinx/x是f(x)的原函数，则 ∫xf'(x)dx为多少，拜托写下详细点的算的步骤，谢谢了

Answer 1

∫xf'(x)dx
=∫xd(f(x))
=xf(x)-∫f(x)dx
因sinx/x是f(x)的原函数
故f(x)=(sinx/x)'=[xcosx-sinx]/x^2
∫f(x)dx=sinx/x
代入即可得答案

追问

将f(x)=(sinx/x)'=[xcosx-sinx]/x^2代入
∫f(x)dx后不是=∫cosx/xdx-∫sinx/x^2dx吗，然后怎么算到等于sinx/x的啊

追答

f(x)=(sinx/x)'=[xcosx-sinx]/x^2
这里的f(x)就不用再带回∫f(x)dx这个里面了
因为sinx/x是f(x)的原函数
所以∫f(x)dx就是等于sinx/x
或者我这么说吧
如果F(x)是f(x)的原函数
那∫f(x)dx就是F(x)了吧

Answer 2

f(x)=(sinx/x)'=cosx/x-sinx/x^2
f'(x)=-sinx/x-cosx/x^2-cosx/x^2+2sinx/x^3
=-sinx/x-2cosx/x^2+2sinx/x^3
∫xf'(x)dx
=∫sinx-2cosx/x+2sinx/x^2 dx
=-cosx+2∫-cosxdx/x+2∫sinxdx/x^2
=-cosx-2[ ∫dsinx/x+ ∫sinxd(1/x)]
=-cosx-2[sinx/x-∫sinxd(1/x)+∫sinxd(1/x)}+C
=-cosx-2sinx/x+C

Answer 3

∫xf'(x)dx=∫xd(f(x))=x*f(x)-sinx/x
又f(x)=(cosx*x-sinx)/x^2
所以 ∫xf'(x)dx为(cosx*x-2sinx)/x +c

Answer 4

令g=sinx/x
由题意有：∫f(x)dx=g
因此有：∫xf'(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx=xf(x)-sinx/x+c