Question

设F是双曲线x²/a²-y²/b²=1的右焦点，双曲线渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，

设F是双曲线x²/a²-y²/b²=1的右焦点，双曲线渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2与A,B两点。若OA,AB,OB成等差数列，且向量BF和向量FA同向，则双曲线的离心率e的大小为多少？

Answer 1

①当b>a时，
由已知：F(c,0) 设直线AB方程：y=k(x-c) 且知该双曲线的渐近线l1: y=(b/a)x
l2 ：y=(-b/a)x 为减少运算量，不妨设A位于第一象限，B位于第四象限。
联立 y=k(x-c)和y=(b/a)x 解，得A﹙kac/﹙ak－b﹚,kbc/﹙ak－b﹚﹚同理联立：y=k(x-c)和y=﹙－b/a﹚x 得B(kac/(ak+b),－kbc/(ak+b))
∴向量OA=﹙kac/﹙ak－b﹚,kbc/﹙ak－b﹚﹚ 向量OB=(kac/(ak+b),－kbc/(ak+b)) 又 向量AB=向量OB－向量OA=(kac/(ak+b),－kbc/(ak+b)) －﹙kac/﹙ak－b﹚,kbc/﹙ak－b﹚﹚ ＝﹙－2kabc/(a²k²－b²) ,－2k²abc/(a²k²－b²)) 消去中间量“k” 向量OA=(a²／c,ab／c) ∴|OA|=a 向量OB=(－a²c／（b²－a²）,abc/(b²－a²)) ∴|OB|=ac²／﹙b²－a²﹚同理得|AB|=2a²b／﹙b²－a²﹚∵ OA,AB,OB成等差数列∴2|AB|﹦|OA|﹢|OB| ∴b/a=2且离心率e=c/a=√﹙1+b²／a²﹚∴e=√5
②当b<a时，|AB|=2a²b／﹙a²－b²﹚ |OB|=ac²／﹙a²－b²﹚ |OA|﹦a其余条件和数据不变∵2|AB|﹦|OA|﹢|OB| ∴b/a=1/2 , e=c/a=√﹙1+b²／a²﹚ ∴e=﹙√5﹚／2;
③当b=a时，e=c/a=√﹙1+b²／a²﹚=√2
综上，双曲线的离心率e=√5或﹙√5﹚／2或√2鐧惧害鍦板浘

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